Rudolf Carnap an Friedrich Bachmann, 13. September 1934 September 1934

In Kürze Antwort auf Ihre Frage v. 10. ds. Im Bericht S. 307 ist [ein] Versehen: PeanosPPeano, Giuseppe, 1858–1932, ital. Mathematiker Ind.-Ax. ist nicht MaxStrAx, sondern MinStrAx.

Definitionen: (der Einfachheit wegen für éine Grundrel. \(R\))

MinModAx in bez[ug] auf \(f\): \((P) (P \subset R.fP.\supset .P = R)\); \(R\) ist „Minimalmodell“ von \(f\), d. h. es gibt keinen echten Teil von \(R\), der auch Modell wäre.

MinStrAx in bez[ug] auf \(f\): \((P) (P \subset R.fP.\supset .Is(P‚R))\); \(R\) hat „Minimalstruktur in bez[ug] auf \(f\), d. h. es gibt keinen echten Teil von \(R\), der zu \(R\) nicht isomorph ist, der auch Modell wäre.

Nehmen wir als \(fR\) die ersten PeanoPPeano, Giuseppe, 1858–1932, ital. Mathematiker-Axiome: \(R\) ist eineindeutig, hat genau 1 Anfangsglied, kein Endglied. Anstatt des PeanoschenPPeano, Giuseppe, 1858–1932, ital. Mathematiker IndAx kann man nun MinStrAx in bez. auf \(f\) hinzufügen. Dann wird das AS monomorph und bestimmt die Struktur Progression, da diese Minimalstruktur in bez. auf \(f\) ist. Wir können das Ax. z. B. so formulieren: „Jede Teilrelation von \(R\), die eineindeutig ist, genau 1 Anfangsgl[ied] hat, kein Endglied hat, ist isomorph mit \(R\)“. Nur für eine Progression sind sowohl jene Bestimmungen \(f\) als auch diese Bestimmung erfüllt.

Für MaxModAx und MaxStrAx analoge Definitionen. Für mehrere Grundrel. 1. Stufe analog; für höherstufige komplizierter (Vollst[ändige] Isomorphie).

Axiomatik noch nicht erschienen. Bin jetzt mit anderem beschäftigt. Vielleicht kann mal ein Andrer meine Entwürfe ausarbeiten.