Heinrich Scholz an Rudolf Carnap, 3. Juni 1932 Juni 1932

Zu den Bemerkungen v. 30. Mai:

1. PeanoPPeano, Giuseppe, 1858–1932, ital. Mathematiker-AS.

a) Wie mir schient, folgt za {symbol} Nf doch aus A4 (allerdings auch aus A2). A4 ist nach Logistik S. 15 unten so umzuformen:

(für Nf’x ist {symbol} zu schreiben)

{symbol}

hieraus: {symbol}

{symbol}

b) Was Sie über Formulierung B sagen, dürfte wohl stimmen. Vielleicht ist es aber nicht besonders zweckmäßig, B als besondere Formulierung des AS aufzustellen. Ich habe damals die Formulierungen der einzelnen Axiome mit „oder“ nur beigefügt, um eine kürzere Schreibweise anzugeben. Nachdem sich aber zeigt, daß die zweite Schreibung der ersten nicht äquivalent ist, würde ich sie einfach streichen.

Meiner Meinung nach hat die Form des AS mit drei Grundbegriffen hauptsächlich nur historisches Interesse. Bei sachlicher Darstellung verwende ich stets eine Form mit nur einem Grundbegr[iff]

Z. B. so: 1) eineindeutig‚

2) genau 1 Anfangsglied‚

3) kein Endglied‚

4) vollst[ändige] Induktion.

Man kann dann nach Wunsch auch weiter aufspalten (z. B. (1) und (2) in je zwei). Die genannte Formulierung empfiehlt sich bes. im Zusammenhang mit Srukturbetrachtungen (Pfeilfigur, Veranschaulichung der Monomorphie).

2. Definition der Summe. Daß die Summe zweier Kardinalzahlen wieder eine KZ ist, trifft (im Russellschen System, bei meiner Formulierung der Def. der Summe) nicht allg. zu, sondern (wenn ich recht sehe) die folgenden beiden Sätze:

a) die Summe zweier KZ ist entweder leer oder eine KZ;

b) Infin Ax {symbol} (die Summe zweier KZ ist eine KZ).

Ich denke, man wird sie auch ohne Schwierigkeiten beweisen können. Falls aber Schwierigkeiten auftreten, so bitte ich um Angabe der Teilsätze, deren Beweis Sie suchen.

Mit herzlichem Gruß