Heinrich Scholz an Rudolf Carnap, 30. Mai 1932 Mai 1932

1) PeanoPPeano, Giuseppe, 1858–1932, ital. Mathematiker-AS

In meinem vorigen Briefe habe ich mich nicht korrekt ausgedrückt. Ich wollte behaupten:

{symbol}

Aus A allein ist {symbol} beweisbar, aus {symbol} folgt aus A2, nicht aus A4). B stimmt aber m. E. noch nicht, wenn man nur „{symbol}“ adjungiert, man braucht „{symbol}“, um für die natürlichen Zahlen die Existenz eines Nachfolgers zu sichern. Nimmt man zu B die beiden von mir vorgeschlagenen Forderungen hinzu, so läßt sich „{symbol}“ sehr schnell beweisen:

Wegen

{symbol}

ist B2 äquivalent mit {symbol}

Ersetzt man dann im A-S gemäß „{symbol}“ {symbol}, so erhält man das System

A2. {symbol}

A3. {symbol}

A1.4.5. {symbol}

das mit „{symbol}“ äquivalent ist.

1) {symbol}

Anm. Statt „{symbol}“ usw. muß es „{symbol}“ heißen.

2) Definition der Summe. Wie läßt sich bei Ihrer Definition beweisen, daß die Summe zweier Kardinalzahlen wieder eine Kardinalzahl ist?