Rudolf Carnap an Kurt Gödel, 23. Dezember 1929 Dezember 1929

Wir lassen als legitime Mathematik gewiße Überlegungen über die Grammatik einer Sprache, die vom Empirischen spricht, zu. Wenn man eine solche Math. zu formalisieren versucht, so gibt es bei jeder Formalisierung Probleme, die man einsichtig machen und in gewöhnlicher Wortsprache ausdrücken, aber nicht in der betr. formalisierten Sprachen ausdrücken kann.

Daraus folgt (BrouwerPBrouwer, Luitzen E. J., 1881–1966, niederl. Mathematiker), daß die Math. unerschöpflich ist: man muß immer wieder von neuem aus dem „Born der Anschauung“ schöpfen.

Es gibt daher keine Characteristica universalis für die gesamte Math., und kein Entscheidungsverfahren für die gesamte Math.

In irgendeiner abgeschlossenen Sprache gibt es nur abzählbar viele Ausdrücke. Das Kontinuum tritt nur in der „gesamten Math.“ auf. Es gibt in jeder (etwa der n-ten) Schicht der Sprache Probleme, die sich in der vorhergehenden (n-1)ten nicht ausdrücken lassen (nämlich über das, was sich in der (n-1)ten „zeigt“, aber nicht aussprechen läßt; Beispiel: jeder Satz über die „Diagonalfolge“, die gebildet wird auf Grund der lexikographisch geordneten Ausdrücke für Folgen (Zahlausdrücke mit einer Variabeln) der (n-1)ten Sprache.)

Wenn wir nur eine Sprache haben, und über sie nur „Erläuterungen“ machen können, so sind diese Erläuterungen unausschöpfbar, sie bedürfen immer wieder neuer Anschauung.