Eine Ölfirma erwägt an einer bestimmten Stelle in der Nordsee nach Öl zu bohren. Es ist nicht absolut sicher, ob sich an dem entsprechenden Ort tatsächlich Öl befindet. Um dies mit Sicherheit festzustellen, kann die Firma eine Expertise durchführen lassen. Der Bau einer Bohrinsel kostet € 1.000.000. Liefert die Bohrinsel tatsächlich Öl, so gewinnt die Ölfirma abzüglich der Betriebskosten € 10.000.000. Die Durchführung einer Expertise kostet € 250.000. Zeichne den Entscheidungsbaum und die Entscheidungstabelle Diskussion: Sollte die Firma in jedem Fall eine Expertise durchführen?
a) Wenn man mit zwei Würfeln würfelt, ist die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln dann genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit eine 12 zu würfeln? (Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln eine 6 zu würfeln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln eine 12 zu würfeln?)
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln ein Pasch zu würfeln? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pasch gewürfelt worden ist, wenn die Summe der Augen nicht größer als 3 ist?
Ein Gremium von 5 Personen wird zufällig aus einer Gruppe von 5 Männern und 10 Frauen besetzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gremium aus 2 Männern und 3 Frauen besteht? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gremium nur aus Frauen besteht?
Was ist der Unterschied zwischen „endlich“, „abzählbar unendlich“ und „überabzählbar unendlich“?
2. Übungen 2 (22. April)
Zur Diskussion: Eine Schönheitschirugin steht vor der Entscheidung, ob sie einem Patienten ein Gesichtslifting empfehlen soll oder nicht? Wird sie bei ihrer Entscheidung im Hinblick auf die Risiken einer Operation die Maximin-Regel anwenden? (Wie wird sie sich entscheiden, wenn a) ärztliche Kunstfehler in der Regel mit der Zahlung von Schmerzensgeld bestraft werden oder b) mit dem Verlust der Zulassung?)
Konstruiere die „Minimax-Bedauern“-Tabellen und finde die Handlungen, bei denen das „Bedauern“ minimiert wird:
Tabelle 1:
Tabelle 2:
\(A_1\)
7
0
4
\(A_1\)
5
20
6
\(A_2\)
5
21
11
\(A_2\)
-3
8
10
\(A_3\)
10
-5
-1
\(A_3\)
4
5
9
Quelle: Michael D. Resnik: Choices. An Introduction to Decision Theory, Minnesota 2000, S. 32.
Zeige: Die „Minimax-Bedauern“-Regel schließt nicht zwangläufig alle dominierten Handlungen aus. (Eine triviale Konsequenz aus der Lösung zu Aufgabe 4! Warum?)
Zeige: Wenn man eine Entscheidungstabelle positiv linear in eine andere überführt, dann ist auch die zugehörige Bedauernstabelle eine positiv linear transformierte (genaugenommen sogar ein positives Vielfaches, warum?) der ursprünglichen Bedauernstabelle. Was müsste man von der Minimax-Bedauernsregel halten, wenn das nicht der Fall wäre?
Zeige: Positiv lineare Transformationen sind transitiv, d.h. wenn die Skala u’ durch positiv lineare Transformation aus der Skala u hervorgeht und Skala u’ durch eine (nicht notwendigerweise dieselbe) positiv lineare Transformation in u” überführt werden kann, dann kann gibt es auch eine positiv lineare Transformation, die u unmittelbar in u” überführt. Warum ist diese Eigenschaft wichtig?
Zeige: Jede Entscheidungstabelle kann durch eine positiv lineare Transformation in eine Entscheidungstabelle überführt werden, deren maximaler Eintrag 1 und deren minimaler Eintrag 0 ist.
