\subsubsection{Ein alternativer Beweis}

Der folgende Beweis stammt aus dem Buch von Resnik \cite[S. 186ff.]{resnik:1987}.
Der Beweis wird ebenfalls so geführt, dass gezeigt wird, dass dann, wenn die drei
letzten Bedingungen erfüllt sind, die erste Bedingung nicht mehr erfüllt werden
kann. Damit ist gezeigt, dass es keine Abbildungsfunktion gibt, die alle
aufgelisteten Bedingungen erfüllen kann. Anders als beim vorhergehenden Beweis
wird diesmal aber nicht zuerst gezeigt, dass es eine Teilmenge von Individuen
gibt, die beinahe entscheidend für alle Alternativen ist und dann, dass sie
tatsächlich nur aus einem Individuum besteht. Sondern es wird zuerst gezeigt,
dass es ein Individuum gibt, dass für eine Alternative beinahe entscheidend ist,
und dann, dass daraus folgt, dass diese Individuum für alle Alternativen nicht
nur beinahe sondern vollständig entscheidend ist. Die einzelnen Beweisschritte
sind aber zum Teil ähnlich wie beim ersten Beweis, so dass die Lektüre des
zweiten Beweises gut zur Übung und zum besseren Verständnis dienen kann.

Zunächst wird folgendes Lemma bewiesen: 

\begin{quote}
{\bf Lemma 1}: {\em Es existiert immer ein Individuum, das für irgendein Paar
von Alternativen beinahe entscheidend ist.}
\end{quote} 

{\em Beweis}: Wie oben angemerkt existieren "`entscheidende"' Mengen für jedes
Paar von Alternativen. Da jede "`entscheidende"' Menge immer auch "`beinahe
entscheidend"' ist, existieren für jedes Paar von Alternativen auch beinahe
"`entscheidende"' Mengen. 

Wir setzten voraus, dass die Menge der Individuen und Alternativen endlich ist.
Dann existiert wenigstens eine "`beinahe entscheidende"' Menge (bezüglich irgend
eines Paares von Alternativen), die keine echte Teilmenge enthält, die "`beinahe
entscheidende"' Menge (bezüglich irgend eines beliebigen Paares von Alternativen)
wäre, denn: Man beginne mit irgend einer beliegigen "`beinahe entscheidenden"'
Menge. Hat diese Menge noch (nicht-leere) Teilmengen, die "`beinahe
entscheidende"' Mengen (bezüglich irgendeiner Alternative) sind, dann wähle
 man irgend eine dieser
"`beinahe entscheidenden"' Teilmengen und stelle für diese Teilmenge dieselbe
Untersuchung an, solange bis man bei einer Menge angekommen ist, die keine
echten Teilmengen mehr enthält, die ihrerseits "`beinahe entscheidende"' Mengen
irgendeines Paares von Alternativen sind. 

Wir verfügen damit über eine "`minimale Menge"', die "`beinahe entscheidend"'
bezüglich eines bestimmten Paares von Alternativen ist. Wenn wir zeigen können,
dass diese "`minimale Menge"' nur noch ein einziges Individuum enthält,
dann haben wir das Lemma bewiesen. Dazu kann ein Widerspruchsbeweis geführt werden.
Wir nehmen also an, es gäbe eine entsprechende "`minimale beinahe entscheidende
Menge"', die mehrere Individuen enthält und zeigen, dass diese Annahme zu einem
Widerspruch führt.

Angenommen also, $M$ sei eine "`minimale beinahe entscheidende Menge"' für die
Alternative $x$ über $y$, die mehrere Individuen enthält. Man betrachte ein
beliebiges Individuum $J$ aus der Menge $M$. Da die Menge $M$ mehr Individuen als
nur $J$ enthält, und da möglicherweise noch ein "`Rest"' von
Individuen existiert, die nicht zu $M$ gehören, kann man folgende drei
unterschiedlichen Gruppierungen betrachten: 1) Die Menge, die nur aus dem 
Individuum $J$ besteht.
2) Die Menge, die aus den Individuen von $M$ ohne $J$ besteht, kurz: $M-J$. 3)
Der "`Rest"', d.h. alle Individuen, die nicht zu $M$ gehören.

Da jedes beliebige Präferenzprofil zugelassen ist ("`unbeschränkter Bereich"')
und sich die Eigenschaft eine (minimale) "`beinahe entscheidende"' Menge zu
sein auf alle Präferenzprofile bezieht, muss sie sich auch bei jedem beliebigen
einzelnen Präferenzprofil bewähren. Man nehme an, dass es mindestens
drei Güter gibt und betrachte nun folgendes Präferenzprofil:

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
$J$ & $M-J$ & Rest \\
\cline{1-3}
$z$ & $x$ & $y$ \\
$x$ & $y$ & $z$ \\
$y$ & $z$ & $x$ \\
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}
{\small Quelle: Resnik \cite{resnik:1987}, S. 188}
\end{center}

Da $M$ eine "`beinahe entscheidende"' Menge für $x$ über $y$ ist und in diesem
Präferenzprofil für alle Mitglieder von $M$ gilt: $x \succ y$, und alle
Nicht-Mitglieder gilt: $y \succ x$, so muss die Wohlfahrtsfunktion diesem
Präferenzprofil kollektive Präferenzen zuordnen, bei denen $x \succ y$ gilt.
Darüber hinaus muss die Wohlfahrtsfunktion natürlich auch festlegen, welche
Beziehung ($\succ$, $\prec$ oder $\sim$) zwischen $x$ und $z$ zu gelten hat.
Wir betrachten die drei Möglichkeiten im Einzelnen, und zeigen, dass jede davon
zu einem Widerspruch führt. Dabei ist zu beachten, dass wir nicht
ausgeschlossen haben, dass die Menge "`Rest"' leer sein kann. Die folgenden
Argumente funktionieren aber (wovon man sich leicht überzeugen kann) auch
in dem Fall, dass die "`Rest"'-Gruppe leer ist.

\begin{enumerate}
  \item Angenommen nach der Wohlfahrtsfunktion gilt für dieses Präferenzprofil
  $x \succ z$. Dann muss die Wohlfahrtsfunktion nach der Bedingung der
  Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen $x \succ z$ auch für alle
  anderen Präferenzprofile liefern, nach denen $x$ und $z$ für jedes Individuum
  in derselben Weise relativ zueinander geordnet sind wie in dem gegebenen
  Präferenzprofil. Damit liefert die Wohlfahrtsfunktion aber immer $x \succ z$,
  wenn für alle Individuen in $M-J$ gilt $x \succ z$ und für alle Individuen,
  die nicht in $M-J$ enthalten sind $z \succ x$. Damit ist $M-J$ aber "`beinahe
  entscheidende"' Menge für $x$ über $z$. Nach der Konstruktion von $M$ hätte
  $M$ als "`minimale beinahe entscheidende Menge"' (für $x$ über $y$) aber keine
  Teilmenge mehr enthalten dürfen, die noch "`beinahe entscheidende"' Menge
  {\em irgendeines} Paars von Alternativen ist. Also liegt hier ein Widerspruch
  vor, so dass die Möglichkeit, dass die Wohlfahrtfunktion dem oben stehenden
  Präferenzprofil kollektive Präferenzen zuordnet, die $x \succ z$ enthalten,
  ausgeschlossen ist.
  
  \item Angenommen, die Wohlfahrtsfunktion legt für dieses Präferenzprofil $x
  \sim z$ fest. Dann ergibt sich, da bereits $x \succ y$ gilt, dass auch $z
  \succ y$. Da $J$ aber $z$ gegenüber $y$ vorzieht, während alle anderen
  Individuen $y$ gegenüber $z$ vorziehen, wäre nach dem gleichen Argument wie
  im 1.Fall $J$ beinahe entscheidend für die Alternative $z$ über $y$, was
  ebenfalls der Minimalität von $M$ widerspricht. 
  Damit scheidet die zweite Möglichkeit auch aus.

  \item Angenommen, die Wohlfahrtsfunktion liefert $z \succ x$. Dann gilt wegen
  $x \succ y$ und der Transitivität der Präferenzrelation auch $z \succ y$.
  Dann liegt aber wiederum der Fall vor, dass bei dem oben angegebenen
  Präferenzprofil für $J$ gilt: $z \succ y$, aber für alle anderen Individuen:
  $y \succ z$, woraus sich mit Hilfe der Bedingung der Unabhängigkeit von
  irrelevanten Alternativen wiederum ergibt, dass $J$ "`beinahe entscheidend"'
  für $z \succ y$ ist, im Widerspruch zur Minimalität von $M$. Auch diese
  Möglichkeit scheidet aus.
\end{enumerate}

Da alle Möglichkeiten zum Widerspruch führen, kann die Wohlfahrtsfunktion die
individuellen Präferenzen nicht auf kollektive Präferenzen abbilden, sofern die
minimale "`beinahe entscheidende"' Menge $M$ noch mehr als ein Individuum
enthält. 

Das erste Lemma scheint alleine noch nicht viel zu besagen, denn von dem
Individuum, aus dem die Menge $M$ am Ende besteht, ist zunächst nur bewiesen, dass es
lediglich beinahe entscheidend ist, und auch das nur für ein Paar von
Alternativen. Ein zweites Lemma zeigt aber, dass weit mehr dahinter steckt: 

\begin{quote}
{\bf Lemma 2:} {\em Ein Individuum,
das für irgendein Paar von Alternativen beinahe entscheidend ist, ist
entscheidend für jedes Paar von Alternativen.}
\end{quote}

{\em Beweis}: Wir nehmen an, dass das Individuum $J$ beinahe entscheidend für
$X$ über $y$ ist. Es muss nun gezeigt werden, dass es dann auch entscheidend
(und zwar nicht bloß {\em beinahe} entscheidend!) für alle Paare von
Alternativen ist. Dies ist dann bewiesen, wenn wir zwei weitere
Alternativen $a$ und $b$ in die Betrachtung einbeziehen und beweisen können,
dass $J$ in folgenden sieben Fällen entscheidend ist: 1) $x$ über $y$; 
2) $y$ über $x$; 3) $x$ über $a$; 4) $a$ über $x$; 5) $y$ über $a$; 6) $a$ über
$y$; 7) $a$ über $b$. 

Da $a$ und $b$ beliebig wählbar sind, schließt der Beweis automatisch ("`ohne
Beschränkung der Allgemeinheit"') alle weiteren Alternativen mit ein, die es
außer $x,y,a$ und $b$ noch geben könnte. Gibt es außer $x$ und $y$ nur noch eine
oder gar keine weiteren Alternativen, dann fallen nur einige der betrachteten
Fälle weg, und der Beweis gilt trotzdem. Aus Gründen der Konvenienz werden in dem
folgenden Beweis die Fälle in einer anderen Reihenfolge behandelt (vgl.
\cite[S.190/191]{resnik:1987}). Nun zu den Fällen im Einzelnen:

\begin{enumerate}
  \item Fall {\em $x$ über $a$}: Wir betrachten das Präferenzprofil, in dem
  $J$ die Alternativen $x,y$ und $a$ in der Reihenfolge $x \succ y \succ a$
  ordnet, und in denen die anderen Individuen die Alternative $y$ sowohl $x$
  als auch $a$ vorziehen, wobei zwischen $x$ und $a$ jede mögliche Reihenfolge
  zugelassen sei. 
  
  Da $J$ nach Voraussetzung beinahe entscheidend für $x$ über $y$ ist, muss die
  Wohlfahrtsfunktion bei einem solchen Profil $x \succ y$ liefern. Da aber
  ebenfalls für alle Individuen $y \succ a$ gilt, muss auf Grund der Bedingung
  der Pareto-Effizienz auch die Sozialwahlfunktion $y \succ a$ für ein
  derartiges Präferenzprofil liefern. Da aber schon $x \succ y$ gilt, liefert
  die Sozialwahlfunktion aufgrund der Transitivität von Präferenzen auch $x
  \succ a$. Auf Grund der Bedingung der irrelevanten Alternativen gilt aber,
  dass die Wohlfahrtsfunktion $x \succ a$ für alle Präferenzprofile liefern
  muss, in denen $x$ und $a$ in derselben Weise relativ zueinander geordnet
  sind, wie in dem betrachteten Beispiel. In dem Beispiel hat $J$ aber $x$ vor
  $a$ eingeordnet, während bei allen anderen Individuen die Ordnung beliebig
  war. Das bedeutet aber, dass die Wohlfahrtsfunktion $x \succ a$ liefert,
  sobald $J$ die Ordnung $x \succ a$ festlegt. Damit ist $J$ entscheidend
  (nicht bloß nahezu entscheidend!) für $x$ über $a$.
  
  \item Fall {\em $a$ über $y$}: Wir betrachten das Präferenzprofil, in dem
  für $J$ die Präferenz $a \succ x \succ y$ gilt, und in dem für alle anderen
  Individuen $a \succ x$ und $y \succ x$ gilt, d.h. in dem $a$ und $y$ der
  Alternative $x$ vorgezogen werden, während die Reihenfolge zwischen $a$ und
  $y$ nicht festgelegt sein soll. 
  
  Weil $J$ beinahe entscheidend für $x$ über $y$ ist gilt, dass die
  Wohlfahrtsfunktion bei den angenommenen Präferenzen $x \succ y$ liefert.
  Aufgrund der Einstimmigkeit (Pareto-Effizienz) muss die Wohlfahrtsfunktion
  aber auch $x \succ a$ festlegen. Aufgrund der Unabhängigkeit von irrelevanten
  Alternativen gilt das letztere wann immer $J$ die Präferenz $a \succ y$
  enthält. Damit ist $J$ aber
  entscheidend für $a$ über $y$.
  
  \item Fall {\em $y$ über $a$}: Betrachtet sei folgendes Präferenzprofil: Für
  $J$ gilt $y \succ x \succ a$; für alle anderen gilt $a,y \succ x$. 
  
  Gemäß der Bedingung der Pareto-Effizienz liefert die Wohlfahrtsfunktion für
  dieses Profil $y \succ x$. Da $J$ entscheidend ist für $x$ über $a$, liefert
  sie auch $x \succ a$ und, wegen der Transitivität der Präferenzrelation
  schließlich auch $y \succ a$. 
 
  Wiederum muss, wenn die Wohlfahrtsfunktion $y \succ a$ für ein Profil liefert,
  in dem $J$ die Alternative $y$ vor $a$ stellt, während die Ordnung von $y$ und $a$
  für die anderen Individuen nicht festgelegt ist, auf Grund der
  Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen die
  Wohlfahrtsfunktion $y \succ a$ bei allen Profilen liefern, die $y$ und $a$ in
  derselben Weise ordnen, d.h. bei allen Profilen, in denen für $J$ gilt: $y
  \succ a$. Damit ist $J$ aber entscheidend für $y$ über $a$.

  \item Fall {\em $a$ über $x$}: Man betrachte zunächst das Profil, in dem für
  $J$ gilt: $a \succ y \succ x$, während $y \succ x,a$ für die anderen
  Individuen gilt. 
  
  Wir wissen bereits, dass $J$ entscheidend für $a \succ y$ ist. Aufgrund der
  Bedingung der Pareto-Effizienz liefert die Wohlfahrtsfunktion aber auch $y
  \succ x$. Analog zu den vorhergehenden Fällen können wir daraus mit Hilfe
  der Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen ableitent,
  dass $J$ entscheidend für $a$ über $x$ ist.
  
  \item Fall {\em $x$ über $y$}: Wir betrachten das Profil, in dem für $J$ gilt:
  $x \succ a \succ y$. Wir wissen bereits, dass $J$ entscheidend für $x \succ a$
  und ebenso für $a \succ y$ ist. Also muss die Wohlfahrtsfunktion für dieses
  Profil $x \succ y$ liefern. Analog zu den vorhergehenden Fällen lässt sich
  dann mit Hilfe der Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
  schließen, dass $J$ entscheidend für $x \succ y$ ist.

  \item Fall {\em $y$ über $x$}: Wie im vorhergehenden Fall, nur dass
  diesmal $x$ und $y$ vertauscht sind.
  
  \item Fall {\em $a$ über $b$}: Wir betrachten ein Profil, in dem für $J$ gilt
  $a \succ x \succ b$. Analog zu dem vorhergehenden Fall, können wir dann
  zeigen, dass $J$ entscheidend für $a$ über $b$ ist.

\end{enumerate}

In jedem der Fälle ist $J$ also "`entscheidend"', womit das zweite Lemma
bewiesen ist. Aus dem ersten und dem zweiten Lemma ergibt sich zusammengenommen
der Satz von Arrow, der damit ebenfalls bewiesen ist.