1. Die Nachklausur

1.1 Aufgabe: Entscheidungsbäume

Ein Automobilunternehmen möchte ein neu zu entwickelndes Elektroauto auf den Markt bringen, das zwar weniger schnell fährt aber dafür unglaublich sparsam ist. Es besteht kein Zweifel daran, dass die Entwicklung eines solchen Wagens technisch möglich ist. Allerdings würden bis zur Marktreife immer noch Forschungs- und Entwicklungskosten von 10 Mio Euro anfallen. Wird der neue Wagen vom Markt akzeptiert, so rechnet die Firma mit einem Ertrag von 15 Mio Euro (worin die Forschungs- und Entwicklungskosten nicht eingerechnet sind).

Aus Konsumentenbefragungen schließt das Management der Firma, dass die Chance auf einen Markterfolg bei 60% liegt. Nun erwägt die Firma, die Markteinführung des neuen Wagens durch eine breit angelegte Werbekampagne abzustützen. Die Werbekampagne würde noch einmal mit 1 Mio Euro zu Buche schlagen, aber die Chance auf einen Markterfolg auf 80% erhöhen.

Aufgaben

1. Stellen Sie den Entscheidungsbaum auf.
2. Wie hoch ist der erwartete Ertrag, wenn die Firma eine Werbekampagne durchführt?
3. Sollte die Firma demnach eine Werbekampagne durchführen?

1.2 Aufgabe: Bayes’scher Lehrsatz

Frau Schmitz ist Einkäuferin für die Gemüseabteilung eines großen Supermarktes. Ihr ist bekannt, dass ca. 3% des von Zwischenhändlern angebotenen Gemüses übermäßig stark durch Pestizide belastet ist. Daher führt sie vor der Abnahme der Ware immer einen standardisierten Schnelltest auf Pestizidbelastung durch. Dieser Schnelltest hat eine positiv-positiv Rate von 90% und eine positiv-negativ Rate von 5%.

Aufgaben:

1. Aufgabe Ein Zwischenhändler bietet Ihr eine Ladung Gurken an, die von ihr positiv gestestet wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist damit zu rechnen, dass die Gurken tatsächlich pestizid-belastet sind?
2. Der Zwischenhändler protestiert und verlangt einen zweiten Test nach einem aufwändigeren aber genaueren Verfahren. Die Kenndaten dieses Verfahrens sind eine positiv-positiv Rate von 98 % und eine positiv-negativ Rate von 1%. Angenommen der zweite Test nach dem aufwändigeren Verfahren fällt negativ aus: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann dennoch mit einer Pestizidbelastung zu Rechnen?

1.3 Aufgabe: Einfache Spiele

Gegeben sei folgende Spielmatrix („Chicken Game“):

Aufgabe: Bestimme alle Gleichgewichte des Spiels.

1.4 Aufgabe: Wiederholte Spiele

Im einem paarweisen, unbestimmt oft wiederholten Gefangendilemma mit folgender Auszahlungsmatrix

seien folgende vier Strategien vertreten:

1. Tit for Tat: Kooperiert in der ersten Runde und kooperiert in den folgenden Runden immer genau dann, wenn die Gegnerstrategie in der vorhergehenden Runde auch kooperiert hat.
2. Random: Kooperiert oder defektiert vollkommen zufällig.
3. Dove: Kooperiert immer.
4. Hawk: Defektiert immer.

Aufgaben: Besimme die Durchschnittspunktzahl, die

1. Dove gegen Random erhält.
2. Hawk gegen Random erhält.
3. Tit for Tat gegen Random erhält.

1.5 Aufgabe: Beweisaufgabe

Das sogennante „Paradox des Liberalismus“ besagt, dass es kein Verfahren zum Treffen kollektiver Entscheidungen gibt, welches den weiter unten angegebenen Bedingungen genügt. Dabei seien mit Kleinbuchstaben \(x‚y‚z\) die Güter bezeichnet, über deren Anordnung in einer kollektiven Präferenzrelation entschieden werden muss. Mit Großbuchstaben \(A‚B\) seien die Individuen bezeichnet, die dem Kollektiv angehören. Die Präferenzen eines Individuums \(I\) seien mit \(\succ _I, \prec _I, \sim _I \) symbolisiert. Die kollektiven Präferenzen seien dagegen mit \(\succ _K, \prec _K, \sim _K \) bezeichnet. Als Bedingungen gelten:

1. minimale Fairness: Für jedes beteiligte Individuum gilt: Seine Präferenzen setzten sich mindestens bei einem Paar von Alternativen durch, d.h. \[\forall _I \exists _{x‚y} \quad x \succ _I y \Rightarrow x \succ _K y \]
2. unbeschränkter Bereich: Jedes beliebige individuelle Präferenzprofil ist zugelassen (solange die Präferenzen wohlgeformt sind).
3. Pareto-Effizienz: Wenn alle Individuen eine bestimmte Alternative einer anderen vorziehen, dann sollte die Alternative auch nach der kollektiven Präferenzordnung vorgezogen werden, d.h. \[ (\forall _I \quad x \succ _I y) \Rightarrow x \succ _K y \]

Angenommen nun, es existiere ein Kollektiv \(K\), dem zwei Individuen \(A\) und \(B\) angehören und es stünden drei Alternativen \(x‚y‚z\) zur Auswahl.

Weiterhin sei gemäß der Bedingung 1 („minimale Fairness“) festgelegt, dass sich bezüglich der Alternative \(x\) oder \(z\) die Präferenzen des Individuums \(A\) durchsetzen und bezüglich der Altenative \(y\) oder \(z\) die Präferenzen des Individuums \(B\).

Aufgabe: Zeige: Bei „ungünstig“ verteilten Präferenzen der Individuen \(A\) und \(B\) ist es unmöglich unter Erfüllung aller drei Bedingungen eine der Alternativen \(x‚y‚z\) als die kollektiv am meisten bevorzugte auszuzeichnen.

Tipp: Gehe in folgenden Schritten vor:

1. Wähle zuerst möglichst „ungünstig“ verteilte Präferenzen für \(A\) und \(B\). Nur dann kann das Problem überhaupt entstehen. Wenn \(A\) und \(B\) dieselben oder sehr ähnlich Präferenzen hätten, würde die Abbildung ihrer individuellen Präferenzen auf eine kollektive Präferenzordnung keinerlei Schwierigkeiten aufwerfen.

2. Zeige für jedes des Güter \(x‚y‚z\) einzeln, dass es aufgrund einer oder mehrerer der drei Bedingungen bei den für \(A\) und \(B\) festgelegten Präferenzen nicht die kollektiv bevorzugte Alternative sein kann. Kann man dies für jede der Alternativen zeigen, dann ist damit bewiesen, dass die Entscheidung über eine kollektive Präferenzordnung unmöglich ist, denn bei einer solche kollektive Präferenzordnung müsste ja irgendeine eine Alternative an der Spitze stehen.