1. Aufgaben

1. Das „Gesetz der großen Zahlen“ besagt, dass in allen Zufallsfolgen der Häufigkeitsgrenzwert eines Merkmals \(A\) mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 gleich dem Wahrscheinlichkeitswert \(r\) von \(A\) ist. Um einzusehen, dass dies nicht ein- und dasselbe ist, wie zu sagen, der Häufigkeitsgrenzwert beträgt \(r\), muss man sich klar machen, dass eine Wahrscheinlichkeit von 1 noch nicht bedeutet, dass irgendein Ereignis mit Sicherheit eintritt. (Zur Erinnerung: Die Kolmogorowschen Axiome fordern lediglich, dass ein sicheres Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1 hat, aber nicht umgekehrt.) Finden Sie Beispiele für:
1. Eine Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit 0 ist, das aber trotzdem möglich ist.
2. Eine Ereignisfolge, innerhalb derer ein Merkmal unendlich oft auftritt, aber trotzdem die Wahrscheinlichkeit 0 hat.
(Übrigens, die Lösung zu dieser Aufgabe ist bereits an anderer Stelle in diesem Skript versteckt. Aber Nachdenken lohnt mehr als suchen…)
2. Das dritte kolmogorowsche Axiom besagt, dass für Ereignisse, die sich ausschließen gilt: \[P(p \vee q) = P(p) + P(q)\] Zeige, dass das dritte Axiom äquivalent ist zu dem Axiom 3*: Seien \(q_1‚…q_n\) Ereignisse, die sich paarweise ausschließen (Exklusivität), von denen aber eins eintreten muss (Vollständigkeit), dann gilt: \[ P(q_1) + …+ P(q_n) = 1 \]
3. Zeige, dass man durch aufsummieren der Gleichungen: \[q_iG_i = q_i(q_iS_i + …+ q_nS_n) - q_iS_i \qquad \mbox{mit}\qquad 1 \leq i \leq n \] über den index \(i\) das Ergebnis: \[ q_1G_1 + q_2G_2 + …+ q_nG_n = 0 \] erhält, sofern \(\sum _{i=1}^n q_i = 1\)
4. Zeige durch Ausrechnen und unter Verwendung von \(a=b\cdot c, 0 \leq a‚b‚c \leq 1\), dass in den folgenden drei Gleichungen sowohl \(\alpha \) als auch \(\beta \) und \(\gamma \) Null sind werden. \[\alpha = bc(a-1) + (1-b)ca + (1-c)a \]\[\beta = bc(b-1) + (1-b)cb \]\[\gamma = bc(c-1) + (1-b)c(c-1) + (1-c)c \]
5. Wenn ein Wettender über eine Informationen \(I\) verfügt, die für die Ereignisse, auf die gewettet werden kann, relevant ist, dann muss er seine Wahrscheinlichkeiten entsprechend \(P_{neu}(a) = P_{alt}(a|I)\) anpassen. Zeige: Wenn der Wettende für irgendeine Aussage \(a\) die Wahrscheinlichkeit \(P_{neu}(a) \neq P_{alt}(a|I)\) wählt, dann ist es für einen geschickten Buchmacher möglich eine „todsichere Wette“ abzuschließen. Hinweis: Der Buchmacher muss dazu sowohl auf \(a\) als auch auf \(I\) eine Wette abschließen und die Wettbeträge entsprechend aufeinander abstimmen. Dabei weiß er, ob \(P_{neu}(a) < P_{alt}(a|I)\) oder \(P_{neu}(a) > P_{alt}(a|I)\).