In dieser und der folgenden Woche werden die mathematischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie besprochen, die für die Theorie der Entscheidungen unter Risiko (d.h. solchen Entscheidungen, bei denen wir im Gegensatz zu Entscheidungen unter Unwissenheit die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Zustände oder Zufallsereignisse kennen) benötigt werden.
Folgendes steht auf dem Programm:
Am Ende dieses Kapitel wird jeder Aufgaben wie die folgende mühelos lösen können:
Ca. 3% aller 70-jährigen haben Alzheimer. Auch wenn Alzheimer bisher nicht geheilt werden kann, ist die Früherkennung eine wichtige Voraussetzung für vorbeugende, den Krankheitsverlauf evtl. mildernde Maßnahmen. Leider lässt sich Alzheimer nur schwer präzise diagnostizieren. (Erst durch Gewebeuntersuchungen am verstorbenen Patienten lässt sich mit Sicherheit feststellen, ob eine Alzheimererkrankung vorlag.) Angenommen einmal, die Forschung hätte einen Gedächtnistest entwickelt, durch den eine vorliegende Alzheimererkrankung mit 95%-iger Sicherheit diagnostizierbar ist, an dem im Durchschnitt aber auch 2% der älteren Menschen scheitern, selbst wenn sie nicht an Alzheimer erkrankt sind.
Angenommen, Sie sind Ärztin oder Arzt und untersuchen einen 70-jährigen Patienten mit Hilfe des Gedächnistests. Es zeigt sich, dass der Patient nicht mehr in der Lage ist, die Aufgaben des Tests zu lösen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient an Alzheimer erkrant ist?
Um es vorweg zu nehmen: Die Antwort „95%“ ist falsch! Aber warum? Dafür eben benötigt man die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Bevor aber auf das mathematische Kalkül der Wahrscheinlichkeitsrechnung eingegangen wird, ist zunächst etwas zu der Frage zu sagen, was Wahrscheinlichkeiten eigentlich sind. Es gibt drei Arten von Phänomenen, auf die man das Wahrscheinlichkeitskalkül anwenden kann:
Die Tatsache, dass man auf alle drei Klassen von Phänomenen ein- und dasselbe wahrscheinlichkeitstheoretische Kalkül anwendet – zudem es übrigens, sofern man seine Anwendung auf den entsprechenden empirischen Phänomenbereich überhaupt zugesteht, keine Alternative gibt – darf nicht darüber hinwegtäuschen, dass es sich – empirisch betrachtet – um sehr unterschiedliche Phänomene handelt. Das gilt trotz der Tatsache, dass die Interpretation, um welche Art von (empirischer) Wahrscheinlichkeit es sich handelt, nicht in jedem Fall eindeutig oder zwingend ist. So kann man die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine Sechs zu würfeln statt als Propensität des Systems „Würfel“ auch als Häufigkeit verstehen, mit der bei einer großen Anzahl von Würfen die Sechs auftritt.
Wenn wir in der Entscheidungstheorie von Wahrscheinlichkeiten sprechen, dann sind fast immer die Wahrscheinlichkeiten von Zuständen oder von Zufallsereignissen gemeint. Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(E\) schreibt man:
\[P(E) = a \qquad 0 \leq a \leq 1 \]Lies: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \(E\) eintritt beträgt \(a\). Statt über die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu reden, können wir ebensogut über die Wahrscheinlichkeit der Wahrheit von Aussagen reden, die besagen, dass ein Ereignis eintritt. Wenn \(q\) die Aussage ist, dass das Ereignis \(E\) eintritt, dann ist mit
\[P(q) = a \qquad 0 \leq a \leq 1 \] die Wahrscheinlichkeit beschrieben, dass die Aussage \(q\) wahr ist. Da \(q\) aussagt, dass E eintritt, ist diese Wahrscheinlichkeit natürlich genau dieselbe wie diejenige, dass E eintritt. Spricht man von den Wahrscheinlichkeiten von Aussagen über Ereignisse, so erlaubt dies ohne weitere Umstände die aussagenlogischen und modallogischen
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde 1993 von dem russischen Mathematiker Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow axiomatisiert. Seitdem beruht die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung auf folgenden drei (harmlos wirkenden) Axiomen:
Sofern die Menge möglicher Ereignisse abzählbar unendlich viele Ereignisse enthält, ersetzt man Axiom 3 durch:
Es ist bemerkenswert, dass man mit diesen drei Axiomen auskommt, und dass sich alle anderen Gesetze für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten daraus ableiten lassen. Insbesondere kann man aus diesen Axiomen relativ unmittelbar folgende Corrolarien ableiten:
Beweis: Da \(p \vee \neg p\) sicher ist, gilt nach Axiom 2: \(P(p \vee \neg p) = 1\). Da \(p\) und \(\neg p\) sich ausschließen, kann man Axiom 3 anwenden: \[P(p) + P(\neg p) = P(p \vee \neg p) = 1\] Daraus folgt unmittelbar: \(P(\neg p) = 1 - P(p) \qquad \)
Beweis: Wenn \(q\) unmöglich ist, dann ist \(\neg q\) sicher. Damit ergibt sich aus dem vorhergehenden und Axiom 2: \[P(q) = 1 - P(\neg q) = 1 - 1 = 0\]
Der „Sinn“ der meisten dieser Corrolarien drüfte relativ einleuchtend sein. Etwas verblüffend könnte höchstens die Monotoniebedingung (3.) erscheinen. Wenn p aus q folgt (\(q \rightarrow p\)), warum gilt dann, dass die Wahrscheinlichkeit von q kleiner ist als die von p (\(P(q) \leq P(p)\)) und nicht umgekehrt? Man kann sich das folgendermaßen klar machen: q ist eine hinreichende, aber keine notwendige Voraussetzung von p. Immer wenn q gegeben ist, ist damit auch p gegeben. Aber umgekehrt kann p auch gegeben sein, ohne dass q gegeben ist. So gesehen ist p wahrscheinlicher als q.
Alle oben aufgeführten Gesetzmäßigkeiten betreffen unbedingte Wahrscheinlichkeiten. Als nächstes ist der Begriff der bedingen Wahrscheinlichkeit einzuführen. Mit
\[ P(p|q) \]bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses p unter der Bedingungen, dass das Ereignis q eingetreten ist.
Mathematisch kann die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(p|q)\) durch folgende Definition eingeführt werden:
\[ P(p|q) := \frac{P(p \wedge q)}{P(q)}\qquad P(q) > 0 \]In Umgangssprache übertragen bedeutet dies, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit als die Wahrscheinlichkeit definiert ist, mit der beide Ereignisse (das Bedingte und das Bedingende) eintreten, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass die Bedingung eintritt. Für den Fall, dass \(P(q)=0\), setzt man üblicherweise \(P(p|q) := 0\). Diese Festsetzung ist möglich und sinnvoll, weil damit immer noch das unten angegebene Multiplikationsgesetz erfüllt ist.
Wenn es sich dabei um die „Definition“ bedingter Wahrscheinlichkeit handelt, dann könnte man die Frage aufwerfen, warum man die bedingte Wahrscheinlichkeit gerade so definieren soll und ob man sie nicht auch anders definieren könnte. Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht allein als eine rein mathematische Disziplin, in welchem Falle die Definition in der Tat willkürlich wäre, solange sie nicht den voher (ebenso willkürlich) festgelegten Axiomen widerspricht, dann muss der Rechtfertigungsgrund für diese Definition genauso wie für die vorhergehenden Kolmogorowschen Axiome in letzter Instanz ein empirischer sein: Die Axiome und Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind gültig, insofern sich damit Gesetzmäßigkeiten empirischer Wahrscheinlichkeitsphänomene richtig erfassen lassen. Andernfalls wären sie nicht mathematisch falsch aber empirisch unanwendbar. (Dasselbe gilt übrigens für alle Bereiche der Mathematik, sogar für das Rechnen mit natürlichen Zahlen. Empirisch betrachtet, ist \(2+2=4\), weil zwei Äpfel und noch zwei Äpfel vier Äpfel sind und weil zwei Häuser und noch zwei Häuser vier Häuser sind, usf. Gäbe es irgendeinen Planeten auf dem zwei Äpfel und noch zwei Äpfel fünf statt vier Äpfel sind, dann wäre damit nicht die Mathematik natürlicher Zahlen widerlegt, aber sie wäre auf diesem Planeten unanwendbar. Wem das Beispiel zu abwegig vorkommt, der mag sich überlegen, dass die einfache Additivität schon bei Volumengrößen nicht gegeben ist. Wenn man 1 Liter Alkohol und 1 Liter Wasser mischt, dann bekommt man nicht etwa \(1+1=2\) Liter Alkohol-Wasser-Gemisch, sondern etwas weniger als 2 Liter! Ob und worauf sich die Gesetze der Addition, Subtraktion, Multiplikation etc. anwenden lassen ist also eine rein empirische Frage. A priori lässt sich nur beweisen, dass \(1+1=2\)‚
Um nun aber die oben aufgeführte Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit noch etwas besser zu motivieren, kann man darauf hinweisen, dass sich aus ihr unmittelbar das uns schon zuvor bekannte (oder wie man riskanterweise auch manchmal behauptet: das uns intuitiv einleuchtende) Gesetz für die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten von und-verknüpften Ereignissen ergibt:
\[ P(p \wedge q) = P(p)\cdot P(q|p) \]Wegen der Kommutativität des logischen und-Operators „\(\wedge \)“ ergibt sich daraus unmittelbar auch:
\[ P(p \wedge q) = P(q \wedge p) = P(q)\cdot P(p|q) \]Beim Gesetz der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten ist zu beachten, dass die Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses die unbedingte Wahrscheinlichkeit ist, die des anderen Ereignisses aber stets die Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass das eine Ereignis eingetreten ist.
Dieser Zusammenhang wird bei empirischen Beispielen manchmal verdeckt. Berechnet man beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass man bei zwei Münzwürfen beidemale hintereinander Zahl erhält, so würde man 1/2 mal 1/2 rechnen, also scheinbar \(P(p)\cdot P(q)\) rechnen, wenn mit p die Aussage „Beim ersten Wurf lag die Zahl oben“ und mit q die Aussage „Beim zweiten Wurf lag die Zahl oben“ gemeint ist. Aber auch hier muss man Korrekterweise \(P(p)\cdot P(q|p)\) rechnen, nur sind beim Münzwurf die Ereignisse p und q unabhängig, so dass – wiederum per Definition für unabhängige Ereignisse (siehe unten) – gilt \(P(q|p) = P(q)\), womit die Rechnung \(P(p)\cdot P(q|p)\), wenn man Zahlen einsetzt, eben genauso aussieht wie die Rechnung \(P(p)\cdot P(q)\). In Wirklichkeit ist es aber eine andere Rechnung.
Deutlicher wird dies an einem zweiten Beispiel: Zu berechnen sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unternehmen U eine Gewinnwarnung ausgibt und der Aktienkurs von U dennoch steigt. Wenn \(q\) die Aussage ist „U gibt eine Gewinnwarnung aus“ und p die Aussage „Der Aktienkurs von U steigt“ und \(p|q\) die Aussage „Der Aktienkurs von U steigt, nachdem eine Gewinnwarnung ausgegeben wurde“, dann ist recht offensichtlich, dass man, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine Gewinnwarnung ausgegeben wird und der Aktienkurs steigt, rechnen muss \(P(p \wedge q) = P(q)\cdot P(p|q)\). Denn wenn schon einmal eine Gewinnwarnung ausgegeben wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs trotzdem steigt, natürlich eine ganz andere als die, dass der Aktienkurs einfach so steigt.
Aus dem Gesetz der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten und-verknüpfter Ereignisse ergibt sich eine naheliegende Definition für die Unabhängigkeit von Ereignissen. Zwei Ereignisse p und q sind statistisch unabhängig, wenn:
\[ P(p \wedge q) = P(p)\cdot P(q) \]Da das Gesetz der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten bereits besagt, dass \(P(p \wedge q) = P(p)\cdot P(q|p) = P(q)\cdot P(p|q)\), so folgt für unabhängige Ereignisse unmittelbar:
\[ P(p|q) = P(p) \qquad \mbox{und}\qquad P(q|p) = P(q) \]In Worte gefasst sind zwei Ereignisse also dann statistisch unabhängig voneinander, wenn sie als Bedingung des anderen keinen Einfluss auf die Größe von dessen Wahrscheinlichkeit ausüben. Wenn man mit \(p|q\) das Ereignis \(p\) unter der Bedingung von \(q\) darstellt, so ist damit noch nicht ausgeschlossen, dass das Ereignis p unabhängig von der Bedingung \(q\) ist. (Umgangssprachlich würden wir freilich nur von den Bedingungen eines Ereignisses sprechen, wenn das Ereignis gerade nicht unabhängig davon ist. Andernfalls würden wir den Ausdruck „Bedingung“ wahrscheinlich nicht verwenden. Die Fachsprache deckt sich hier, wie so oft, nicht mit der Umgangssprache!)
Sind \(p\) und \(q\) statistisch unabhängig von einander, dann gilt auch, dass \(p\) und \(\neg q\) statistisch unabhängig sind.
Beweis:
\[ p \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (p \wedge \neg q) \]Da \((p \wedge q)\) und \((p \wedge \neg q)\) einander ausschließen, gilt nach Axiom 3:
\[ P(p) = P((p \wedge q) \vee (p \wedge \neg q)) = P(p \wedge q) + P(p \wedge \neg q) \]Das lässt sich umformen zu:
\[ P(p \wedge \neg q) = P(p) - P(p \wedge q) \]Da nach Voraussetzung \(p\) und \(q\) statistisch unabhängig sind, gilt: \(P(p \wedge q) = P(p)\cdot P(q)\). In der vorhergehenden Gleichung dürfen wir also \(P(p \wedge q)\) durch \(P(p)P(q)\) ersetzen und erhalten:
\[ P(p \wedge \neg q) = P(p) - P(p)P(q) = P(p)\cdot (1 - P(q)) \]Nach Corrolar 1 ist aber \(1 - P(q) = P(\neg q)\). Somit erhalten wir:
\[ P(p \wedge \neg q) = P(p)P(\neg q) \]Also sind nach der Definition der statistischen Unabhängigkeit auch \(p\) und \(\neg q\) voneinander unabhängig. q.e.d.
Dementsprechend gilt: Wenn \(p\) statistisch unabhängig von \(q\) ist, dann ist nicht nur \(P(p|q) = P(p)\) sondern auch \(P(p|\neg q) = P(p)\). Kurz, wenn \(p\) unabhängig von \(q\) ist, dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit von \(p\) nicht durch irgendwelche Informationen hinsichtlich der Frage, ob \(q\) eingetreten ist oder nicht. (Aber genauso würden wir es von unabhängigen Ereignissen ja auch erwarten, oder?)
Bei mehr als zwei Ereignissen legt man wie bei der Unvereinbarkeit üblicherweise die paarweise Unabhängigkeit zu Grunde. Ähnlich wie bei paarweise unvereinbaren Ereignissen die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eins davon eintritt (oder-Verknüpfung!), der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse entspricht, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ereignisse einer Menge von paarweise unabhängigen Ereignissen eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse.
Der Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ist nicht immer vollkommen intuitiv. Einige Dinge sollte man im Auge behalten: Durch das Hinzufügen von Bedingungen kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses größer oder auch kleiner werden oder auch gleich bleiben. (Es ist also nicht wahr, dass irgendein Grundsatz der Art: „Je mehr Bedingungen, desto unwahrscheinlicher ein Ereignis“ gelten würde.) Beispiel: Angenommen, auf Grund historischer Erfahrungswerte weiß man, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Aktienkurse eines großen Gartenbauunternehmens im Frühjahr mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit \(w\) steigen. Dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass sie steigen, wenn das Gartenbauunternehmen im ersten Quartal Gewinne ausweisen konnte, sicher größer sein als \(w\), während sie unter der Bedingung, dass es Verluste melden musste, wahrscheinlich kleiner sein wird.
Schließlich ist noch auf eine Verwechselungsmöglichkeit aufmerksam zu machen. Die Wahrscheinlichkeit‚ dass „\(q\) unter der Bedingung, dass \(p\)“ eintritt (also \(P(q|p)\)) ist nicht zu verwechseln mit der Wahrscheinlichkeit von „\(q\) wenn \(p\)“ (\(P(p \rightarrow q)\)). Ein Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit aus einem Stapel von Karten eine Karte mit Herz zu ziehen (\(q\)) beträgt \(1/4\). Wenn man aber vorher alle schwarzen Karten aus dem Stapel entfernt, dann ist die Bedingung gegeben ist, dass die gezogene Karte eine rote Karte ist (\(p\)), und die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte unter dieser Bedingung Herz ist, beträgt \(P(q|p) = 1/2\). Andererseits aber beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es wahr ist, dass „wenn eine rote Karte gezogen wird, dann ist es eine Herz-Karte“ \(P(p \rightarrow q) = 3/4\), denn die Aussage ist auch dann wahr, wenn überhaupt keine rote Karte gezogen wird, was bereits in der Hälfte aller Fälle gilt. Die Bedingungsaussage \(q|p\) ist also nicht zu verwechseln mit der Implikationsaussage \(p \rightarrow q\). Der Unterschied ist der zwischen der bedingten Behauptung des Folgeglieds einer Implikation und der Behauptung der Gültigkeit einer Implikationsbeziehung selbst, ein subtiler aber wichtiger Unterschied!
Aus dem Gesetz für die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten
\[ P(p \wedge q) = P(p)\cdot P(q|p) = P(q)\cdot P(p|q) \]lässt sich durch Division von \(P(p)\) bzw. \(P(q)\) die Bayes’sche Regel ableiten:
\[ P(p|q) = \frac{P(q|p)\cdot P(p)}{P(q)}\qquad \mbox{wenn}\qquad P(q) > 0\]Um den eigentlichen Bayes’schen Lehrsatz abzuleiten, ist es notwendig, den Ausdruck \(P(q)\) im Nenner durch einen Ausdruck zu ersetzen, der die absolute Wahrscheinlichkeit von \(q\) nicht mehr enthält.
Mit Hilfe des Multiplikationsgesetzes ergibt sich daraus:
\[ P(q) = P(q|p)\cdot P(p) + P(q|\neg p)\cdot P(\neg p) \]Durch Einsetzen in die oben angegebene Regel ergibt sich damit der berühmte Bays’sche Lehrsatz:
\[ P(p|q) = \frac{P(q|p)\cdot P(p)}{P(q|p)P(p) + P(q|\neg p)P(\neg p)}\]Wie kann man sich diese Formel am besten merken und wozu ist sie überhaupt gut? Merken kann man sich die Formel recht leicht, wenn man sich klar macht, dass sie die folgende Struktur hat:
\[P(p|q) = \frac{a}{a + b}\]wobei
\[ a := P(q|p)P(p) \]und
\[ b := P(q|\neg p)P(\neg p) \]d.h., salopp ausgedrückt, \(b\) dasselbe ist wie \(a\) nur mit \(\neg p\) statt \(p\). Man kann sich die Bedeutung dieser Formel mit Hilfe folgender, in vielen Zusammenhängen nützlichen Interpretation merken: Was uns die Formel auf der linken Seite als Ergebnis liefert ist die Wahrscheinlichkeit für die Gültigkeit einer Annahme \(p\) unter der Bedingung, dass irgendeine Probe bzw. ein Test \(q\) erfolgreich durchgeführt worden ist. Auf der rechten Seite kommen nur drei verschiedene Terme vor. Einige davon allerdings mehrfach, nämlich:
Die letzten beiden Wahrscheinlichkeiten beschreiben Fehlerwahrscheinlichkeiten des Testverfahrens q, und zwar für unterschiedliche Arten von Fehlern! Die negativ-positiv und negativ-negativ Raten sind dagegen die Inversen der entsprechenden positiv-* Raten und berechenen damit nach: \(P(\neg q|p) = 1 - P(q|p)\) bzw. \(P(\neg q|\neg p) = 1-P(q|\neg p)\). Mit der Bayes’schen Formel berechnet man also die Wahrscheinlichkeit, dass \(p\) zutrifft, wenn ein Testverfahren \(q\) positiv ausfällt. Die Bayes’sche Formel erlaubt uns zu berücksichtigen, dass Testverfahren meistens nicht 100%-ig perfekt sind. Die Unvollkommenheiten des Testverfahrens werden dabei durch die positiv-positiv und die positiv-negativ Raten charakterisiert. Die Wahrscheinlichkeit von \(p\), wenn der Test positiv ausgefallen ist, berechnet sich, wenn man die Formel in Worte fasst nach: Basisrate mal positiv-positiv Rate geteilt durch Basisrate mal positiv-positiv Rate plus inverse Basisrate mal positiv-negativ Rate.
Mit diesem Wissen können wir nun auch die Aufgabe zu Beginn der Vorlesung lösen:
Ca. 3% aller 70-jährigen haben Alzheimer. Auch wenn Alzheimer bisher nicht geheilt werden kann, ist die Früherkennung eine wichtige Voraussetzung für vorbeugende, den Krankheitsverlauf evtl. mildernde Maßnahmen. Leider lässt sich Alzheimer nur schwer präzise diagnostizieren. (Erst durch Gewebeuntersuchungen am verstorbenen Patienten lässt sich mit Sicherheit feststellen, ob eine Alzheimererkrankung vorlag.) Angenommen einmal, die Forschung hätte einen Gedächtnistest entwickelt, durch den eine vorliegende Alzheimererkrankung mit 95%-iger Sicherheit diagnostizierbar ist, an dem im Durchschnitt aber auch 2% der älteren Menschen scheitern, selbst wenn sie nicht an Alzheimer erkrankt sind.
5 Die Zahlen sind für den Zweck der Übungsaufgabe willkürlich gewählt und auch die Testverfahren stellen nur natürlich nur ein erfundenes Beispiel dar. Für realistische Zahlen aus der aktuellen Forschung, siehe http://brain.oxfordjournals.org/cgi/reprint/131/3/681[]kloeppel:2008. Ich bin Matthias Brinkmann für den Hinweis auf diesen Artikel sehr dankbar! Angenommen, Sie sind Ärztin oder Arzt und untersuchen einen 70-jährigen Patienten mit Hilfe des Gedächnistests. Es zeigt sich, dass der Patient nicht mehr in der Lage ist, die Aufgaben des Tests zu lösen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient an Alzheimer erkrankt ist?
Bei diesem Beispiel, gilt offenbar:
In die Bayes’sche Formel eingesetzt ergibt dies:
\[\frac{0‚03\cdot 0‚95}{0‚03\cdot 0‚95 + 0‚97\cdot 0‚02} = 0‚59 \]Mit 59%-iger Wahrscheinlichkeit ist der Patient also an Alzheimer erkrankt. Wie kann das sein, mag man sich fragen, dass der Wert nur 59% beträgt, wenn ein Test, der die Krankheit doch zu 95% diagnostiziert, positiv ausgefallen ist. Der Grund ist, dass die Krankheit unter den 70-jährigen überhaupt nur selten vorkommt und dass damit die Basisrate recht niedrig ist. Wie nützlich der Bayes’sche Lehrsatz ist, tritt so recht dann zu Tage, wenn man ihn mehrfach hintereinander anwendet. Stellen Sie sich unsere Geschichte folgendermaßen fortgesetzt vor:
Als Arzt oder Ärztin sind Sie nicht damit zufrieden, dass Sie die Alzheimererkrankung des Patienten bisher nur mit 59%-iger Wahrscheinlichkeit diagnostizieren konnten. Also wenden Sie noch einen zweiten Test – diesmal einen Test mit Rechenaufgaben an – um ihre Diagnose ggf. zu erhärten. Der zweite Test ist etwas weniger zuverlässig als der erste, indem eine vorliegende Krankheit nur in 90% aller Fäller richtig erkannt wird, aber auch in 10% der Fälle Fehlalarm gegeben wird, obwohl gar keine Erkrankung vorliegt. Angenommen, Ihr Patient scheitert ebenfalls an den Rechenaufgaben dieses zweiten Tests. Mit welcher Wahrscheinlichkeit müssen Sie nun davon ausgehen, dass er tatsächlich an Alzheimer erkrankt ist?
Um die Aufgabe zu lösen, wendet man wiederum den Bayes’schen Lehrsatz an, nur dass man diesmal als Basisrate dass Ergebnis des ersten Tests einsetzt. Wir wissen ja schon mit 59%-iger Wahrscheinlichkeit, dass der Patient erkrankt ist. Die Rechnung liefert dann ein Ergebnis von:
\[\frac{0‚59\cdot 0‚9}{0‚59\cdot 0‚9 + 0‚41\cdot 0‚1} = 0‚93 \]Durch die kombinierte Anwendung beider Tests ist die Erkrankung nun also mit ca. 93%-iger Sicherheit festgestellt. Eine wichtige Voraussetzung für die verkettete Anwendung des Bayes’schen Lehrsatzes besteht darin, dass die einzelnen Testverfahren statistisch voneinander unabhängig sind, d.h. wenn die Testperson krank ist, darf die Wahrscheinlichkeit, dass der der zweite Test die Krankheit korrekt diagnostiziert (positiv-positiv Rate) nicht davon abhängen, ob auch der erste Test unter dieser Bedingung die Krankheit richtig diagnostiziert hat. Dasselbe gilt selbstverständlich auch für die positiv-negativ Rate. Wäre der zweite Test in unserem Beispiel wiederum ein Gedächnistest gewesen, so hätte man Anlass zu der Annahme, dass die beiden Tests nicht statistisch unabhängig voneinander sind. (Für den Rechentest wollen wir einmal gutgläubig vermuten, dass er statistisch unabhängig vom Gedächnistest ist.)
Der Bayes’sche Lehrsatz lässt sich auch einsetzen, wenn es darum geht, den Wert von unsicheren Informationen zu beurteilen. Dazu muss man allerdings zunächst klären, wie hoch man den Wert von Informationen überhaupt zu veranschlagen hat. Resnik führt dazu folgendes gedachte Beispiel an [S. 57]resnik:1987:
Jemand steht vor der Entscheidung, € 50.000 in eine Firma zu investieren oder lieber in Sparbriefen anzulegen. Die Investition in die Firma würde im Laufe eines Jahres 5% Zinsen einbringen, die in Sparbriefe 10%. Was die Investition in die Firma dennoch interessant macht ist, dass sie möglicherweise noch im Laufe desselben Jahres an die Börse geht. Dann nämlich würden sich die investierten € 50.000 verdoppeln. Als Entscheidungstabelle dargestellt, sieht die Situation also folgendermaßen aus:
| Börsengang | Kein Börsengang | |
| Investiere | € 100.000 | € 52.500 |
| Kaufe Sparbriefe | € 55.000 | € 55.000 |
Angenommen, die Person, die vor dieser Entscheidung steht, hält sich an das Indifferenzprinzip und geht davon aus, dass eine 50% Chance besteht, dass die Firma an die Börse geht. In diesem Fall hätte die Entscheidung zu investieren einen Erwartungswert von € 100.000\(\cdot 0.5\) + € 52.500\(\cdot 0.5\) = € 76.250 und wäre damit dem Kauf von Sparbriefen vorzuziehen. Nun nehmen wir weiterhin an, es gäbe in der Firma einen Insider, der mit Sicherheit sagen könnte, ob die Firma im Laufe des Jahres an die Börse geht oder nicht, und dieser Insider wäre bereit, seine Information zu verkaufen.
Um nun die Bayes’sche Formel ins Spiel zu bringen, gehen wir von der etwas realistischeren Annahme aus, dass die Information des Insiders nicht völlig zuverlässig ist. Wir nehmen vielmehr an, dass sie einem internen Bericht entnommen ist, von dem nicht sicher ist, wie zuverlässig er ist. Angenommen aus vergleichbaren Fällen ist bekannt, dass wenn ein Börsengang geplant ist, dies mit einer 90%-igen Wahrscheinlichkeit in dem Bericht korrekt mitgeteilt wird, mit einer 10%-igen Wahrscheinlichkeit aber das Gegenteil behauptet wird. Angenommen weiterhin, wir hätten Grund zu der Annahme, dass wenn kein Börsengang stattfinden wird, dennoch mit einer 50%-igen Wahrscheinlichkeit in dem Bericht behauptet wird, es würde ein Börsengang statt finden. Welche Überlegung muss die Person, die vor der Frage steht, ob es sich lohnt, Geld in die Bestechung eines Informanden zu investieren, nun anstellen? Zunächst müsste sie die Wahrscheinlichkeiten berechnen, mit der die Firma an die Börse geht, falls dies in dem Bericht behauptet wird. Und ebenso müsste die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, falls dies in dem Bericht bestritten wird.
Für beide Rechnungen muss man die Bayes’sche Formel heranziehen. In beiden Fällen ist die Basisrate wiederum die subjektive Wahrscheinlichkeit, die für einen Börsengang spricht, und die wir nach dem Indifferenzprinzip auf 50% festgesetzt haben. Im ersten Fall beträgt die positiv-positiv-Rate 90% und die positiv-negativ-Rate 50%. Wenn \(b\) das Ereignis ist, dass die Firma an die Börse geht und \(j\) das Ereignis, dass im Bericht behauptet wird, dass sie es tut, und \(n\) das Ereignis, dass im Bericht behauptet wird, dass sie es nicht tut, dann ergibt sich folgende Rechnung:
\[ P(b|j) = \frac{P(b)P(j|b)}{P(b)P(j|b) + P(\neg b)P(j|\neg b)} = \frac{0‚5\cdot 0‚9}{0‚5\cdot 0‚9 + 0‚5\cdot 0‚5} = 0‚643 \]Die Wahrscheinlichkeit, dass die Firma nicht an die Börse geht, wenn im Bericht behauptet wird, dass sie es tut \(P(\neg b|j)\), ist natürlich genau die inverse Wahrscheinlichkeit, also \(P(\neg b|j) = 1 - P(b|j) = 0‚357\).
Im zweiten Fall, d.h. in dem Fall, dass der Bericht einen Börsengang dementiert, betragen die entsprechenden Raten 10% und 50%. Die Rechnung sieht wie folgt aus:
\[ P(b|n) = \frac{P(b)P(n|b)}{P(b)P(n|b) + P(\neg b)P(n|\neg b)} = \frac{0‚5\cdot 0‚1}{0‚5\cdot 0‚1 + 0‚5\cdot 0‚5} = 0‚167 \]Die entsprechende inverse Wahrscheinlichkeit \(P(\neg b|n)\) beträgt 0‚833.
Für die Beantwortung der Frage, welchen Wert eine solche nur relativ zuverlässige Information hat, müssen nun die Erwartungswerte berechnet werden, 1) für den Fall, dass die Information dahingehend lautet, dass das Unternehmen an die Börse geht, und 2) für den Fall, dass die Information anders lautet, wobei der durch die eben berechneten Wahrscheinlichkeiten umschriebene Zuverlässigkeitsgrad der Information zu berücksichtigen ist. Es ergibt sich in dem ersten Fall (Börsengang wird behauptet) ein Erwartungswert von:
\[ 0‚643\cdot \mbox{€ 100.000} + 0‚357\cdot \mbox{€ 52.500} = \mbox{€ 83.035‚71}\]Und für den zweiten Fall:
\[ 0‚167\cdot \mbox{€ 100.000} + 0‚833\cdot \mbox{€ 52.500} = \mbox{€ 60.416‚67}\]Das bedeutet aber, dass egal wie die Information ausfällt, es auf jeden Fall besser wäre, in die Firma zu investieren. Die Information selbst ist also wertlos! Es gnügt das Wissen, dass es eine entsprechende Information überhaupt gibt, und mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie in dem ein oder anderen Fall (Börsengang oder nicht) zurverlässig ist oder nicht, im Zusammenhang mit der subjektiven Annahme einer gleichen Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses und das Nicht-Eintreten des Ereignisses.
(Nun könnte man noch die Frage anschließen, wie der Fall zu beurteilen wäre, wenn – bei anderen Wahrscheinlichkeiten – im zweiten Fall ein Wert herausgekommen wäre, der niedriger wäre als € 55.000. Dann müsste man, wie zuvor, den Erwartungswert, mit dem man in dem Fall rechnet, dass die Information positiv ausfällt, zu den € 55.000 addieren, die man in dem Fall erhält, dass die Information negativ ausfällt und man Sparbriefe kaufen wird. Beide Summanden müssten mit den subjektiven Wahrscheinlichkeitseinschätzungen dafür, wie die Information ausfällt, gewichtet werden (wofür wir eine gleichverteilte Wahrscheinlichkeit von 50% veranschlagt hatten). Das Ergebnis wäre mit dem Erwartungswert ohne jede Information von € 76.250 zu vergleichen, und entsprechend der Differenz der Wert der Information zu veranschlagen.)
Bei diesem Beispiel ist zu beachten, dass die mit Hilfe des Bayes’schen Lehrsatzes berechneten bedingten Wahrscheinlichkeiten davon abhängen, welche subjektive Wahrscheinlichkeitseinschätzung man bezüglich der in die Bayes’sche Formel eingesetzten Basisrate vornimmt. Es handelt sich um (rationale) subjektive Wahrscheinlichkeitseinschätzungen, nicht um „objektiv berechnete Wahrscheinlichkeiten“.
Damit sind wir wieder bei dem Problem der Interpretation von Wahrscheinlichkeitsaussagen, d.h. bei Frage, ob es sich um Aussagen über Häufigkeiten, subjektive Einschätzungen oder objektive „Propensitäten“ handelt. Mit diesem Problem werden wir uns in der nächsten Woche beschäftigen.
