1. Aufgaben

1. Gegeben seien drei Individuen \(A\), \(B\), \(C\) und drei Alternativen \(x\), \(y\), \(z\). Die Präferenzen seien folgendermaßen verteilt:

\(A\)	\(B\)	\(C\)
\(z\)	\(x\)	\(y\)
\(x\)	\(y\)	\(z\)
\(y\)	\(z\)	\(x\)

Angenommen, um die kollektive Entscheidung zu treffen, welche Alternative gewählt werden soll, sind paarweise Stichwahlen vereinbart worden, und \(A\) ist zum Wahlleiter ernannt worden, mit dem Recht die Reihenfolge festzulegen, in der über jeweils zwei Alternativen abgestimmt worden ist.
1. In welcher Reihenfolge sollte \(A\) abstimmen lassen, damit die von \(A\) bevorzugte Alternative \(z\) mit Sicherheit gewinnt?
2. Angenommen, \(B\) bemerkt \(A\)s Plan. Kann \(B\) durch „strategisches Wählen“ den Plan von \(A\) durchkreuzen? Wenn ja, wie?
2. Verständnisfrage: Was ist der Unterschied zwischen der „kollektiven Präferenz“ und der „Präferenz aller Indivduen“? (Zusatzfrage für philosophiehistorisch Gebildete: Wie verhält sich diese Unterscheidung zu der von Rousseau zwischen „volonté générale“ und „volonté de tous“ ?)
3. Bei den Beweisen des „Paradox des Liberalismus“und des „Satzes von Arrow“ wurde jeweils die schwache Pareto-Bedingung vorausgesetzt. Erkläre, warum sich die Beweise trotzdem genauso führen lassen, wenn man nur die starke Paretobedinung voraussetzt: Wenn kein Individuum eine bestimmte Alternative einer bestimmten anderen Alternative nachordnet, aber mindest ein Individuum sie vorzieht, dann sollte diese Alternative auch in der kollektiven Wahl bevorzugt werden.
4. Zeige, dass die Gültigkeit des Beweises des „Paradox des Liberalismus“ (Abschnitt auf Seite ff.) nicht davon abhängt, über welche Alternativen man den beiden Individuen \(A\) und \(B\) ihre Prärogative einräumt.
5. Zeige: Wenn umgekehrt zuerst die Präferenzen der Individuen festgelegt werden, und erst danach die Prärogative zugewiesen wird, dann ist es immer möglich Prärogativen zu finden, so dass die Konstruktion einer kollektiven Entscheidungsfunktion für zwei Individuen und drei Alternativen doch möglich wird.

6. Gegeben seien die beiden Präferenzprofile \(P_1\), \(P_2\):

	Individuum A	Individuum B	Individuum C
Profil \(P_1\)	\(y \succ x \succ a\)	\(x \succ a \succ y\)	\(y \succ a \succ x\)
Profil \(P_2\)	\(y \succ a \succ x\)	\(a \succ x \succ y\)	\(a \succ y \succ x\)

und die Sozialwahlfunktionen \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), \(S_4\), \(S_5\), \(S_6\):

	Profil \(P_1\)	Profil \(P_2\)
Swf \(S_1\)	\(y \succ x \succ a\)	\(y \succ a \succ x\)
Swf \(S_2\)	\(y \succ a \succ x\)	\(y \succ x \succ a\)
Swf \(S_3\)	\(x \succ y \succ a\)	\(x \succ a \succ y\)
Swf \(S_4\)	\(a \succ y \succ x\)	\(a \succ y \succ x\)
Swf \(S_5\)	\(x \succ a \succ y\)	\(a \succ x \succ y\)
Swf \(S_6\)	\(a \succ x \succ y\)	\(y \succ x \succ a\)

Aufaben:
1. Welche dieser Sozialwahlfunktionen erfüllt die Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen, welche nicht?
2. Was ändert sich daran, wenn man Individuum C streicht?
7. Beweise:
1. Eine Sozialwahlfunktion, die jedem Präferenzprofil dieselbe „soziale Wahl“ zuweist, ist immer mit der Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen vereinbar.
2. Eine Sozialwahlfunktion, die jedem Präferenprofil die Präferenzordnung ein- und desselben Individuums aus dem Profil zuordnet, ist immer mit der Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen vereinbar.
8. Zeige, wie man durch sukzessives Ersetzen des rechten und des linken Terms in der Aussage: „\(D\) ist entscheidend für \(x\) über \(y\)“ die umgekehrte Aussage: „\(D\) ist entscheidend für \(y\) über \(x\)“ ableiten kann. Wieviele Alternativen außer \(x\) und \(y\) benötigt man dafür mindestens bzw. höchstens?
9. Obsolet! Es gelte: a) Für ein gegebenes \(x\) und jedes beliebiege \(u\) sei \(J\) entscheidend für \(x \succ u\). Und b) Für ein gegebenes \(y\) und ein beliebiges \(u’\) sei \(J\) weiterhin entscheidend für \(u’ \succ y\). Zeige, dass dann gilt: \(J\) ist entscheidend für jedes beliebige Paar \(v\), \(w\) und zwar sowohl \(v \succ w\) als auch \(w \succ v\).
10. Warum kann man sich bei bei Lemma 1 des ersten Beweises des Satzes von Arrow nicht auf die Betrachtung des 1. Teils: “Ersetzbarkeit von rechts” (Seite ) beschränken und dann den Beweis analog zu Schritt 8. von Lemma 3 (Seite ) abkürzen?
11. Erkläre, warum ist das Resultat, dass das „zentrale Individuum“ Diktator über \(A\) und \(C\) ist, am Ende von Teil 2 des alternativen Beweises (Abschnitt , Seite ff.) unabhängig von der Reihenfolge, in der die Individuen beim „Übergang“ (Teil 1 des Beweises) durchgezählt werden?
12. Warum kann man am Ende von Teil 1 des zweiten Beweises (Abschnitt , Seite ff.) nicht sagen, dass das „zentrale Individuum“ entscheidend für \(B\) über \(A\) (oder eine bliebige andere Alternative ist)? Zusatzfrage: Könnte man am Ende von Teil 1 sagen, dass die Menge aller Individuen bis zum „zentralen Individuum“, beinahe entscheidend für \(B\) über \(A\) (oder anstelle von \(A\) für irgend eine andere Alternative außer \(B\)) ist?  
    schwere Aufgaben:
13. Führe den Beweis von Lemma 1 für vollständig entscheidende statt bloß beinahe entscheidende Mengen.
14. Warum lässt sich der Beweis von Lemma 2 nicht auf dieselbe Weise für vollständig entscheidende statt bloß für entscheidende Mengen führen?1Zumindest nicht ohne Weiteres, denn auf gewaltsame Weise lässt sich der Beweis immer noch führen, wenn man den Begriff der beinahe entscheidenden Menge implizit in Lemma 2 einführt und Lemma 3 mit in Lemma 2 aufnimmt… (Daraus ergibt sich, warum die Einführung des – zunächst vielleicht ewtas kontraintuitiven – Begriffes der beinahe entscheidenden Mengen sinnvoll ist.)
15. Warum ist bei Teil 2 des zweiten Beweises bei Punkt auf Seite der Hinweis „Beschränkt man die Betrachtung auf alle Alternativen \(\succeq _n B\)“ notwendig? (Zusatzfrage: Warum gilt die Erkenntnis, dass \(A \succ B\), dann trotzdem ohne Einschränkung für alle Alternativen?)  
    für Interessierte:

16. Wieviele Individuuen und wieviele Alternativen muss es mindestens geben, damit der Satz von Arrow gilt?
17. Angenommen, es gibt \(n\) Individuen und \(k\) Alternativen stehen zur Debatte.
1. Wieviele mögliche Präferenzordnungen kann ein Individuum haben?
2. Wieviele mögliche Präferenzordnungen kann das Kollektiv haben?
3. Wieviele mögliche Präferenzprofile gibt es?
4. Wieviele mögliche Sozialwahlfunktionen gibt es?
18. Bei dem Beweis des Satzes von Arrow (Seite ff.) sind wir immer von strikter Bevorzugung \(\succ \) ausgegangen. Was ist in diesem Zusammenhang zur Möglichkeit der Indifferenz \(~\) zwischen Alternativen zu sagen?

19. Finde einen einfacheren Beweis für Lemma 3?
20. Kann man aus den drei alternativen Beweisen einen einzigen zusammenbauen, der kürzer und eleganter ist als alle drei?