Bisher haben wir uns nur mit individuellen Entscheidungen beschäftigt. Für die Anwendung der Theorie ist es dabei weniger wichtig, ob die Akteure bzw. „Agenten“ tatsächlich einzelne Individuen sind, oder ob sie etwa Gruppen oder Körperschaften sind. Entscheidend ist, dass sie über eine ganz bestimmte Präferenzrelation verfügen, die die Bedingungen für Präferenzrelationen erfüllt, also Ordnung, Transitivität etc. (siehe Kapitel , ab Seite ). Die Sozialwahltheorie beschäftigt sich nun genau mit der Frage, wie eine Gruppe von Individuen kollektive Entscheidungen treffen kann, wenn man noch nicht von vornherein eine kollektive Präferenzrelation als gegeben betrachtet. Man könnte auch sagen, dass das Problem bzw. eines der Hauptprobleme der Sozialwahltheorie darin besteht, wie man individuelle Präferenzen auf kollektive Präferenzen abbilden kann. Um ein Problem handelt es sich insofern, als die individuellen Präferenzen einer Gruppe von Menschen höchst unterschiedlich beschaffen sein können, selbst wenn man einmal annimmt, dass jedes Mitglied der Gruppe über eine im Sinne der Theorie gültige Präferenzrelation verfügt. Wie wir sehen werden, kann es zu Schwierigkeiten kommen, wenn man daraus eine kollektive Präferenzrelation ableiten will, die immer noch die Bedingungen einer wohlgeordneten Präferenzrelation erfüllt.
Die individuellen Präferenzen sämtlicher Individuen zusammengenommen, bezeichnet man auch als „Präferenzprofil “. Ein Präferenzprofil ist also eine Menge von individuellen Präferenzrelationen. Die Abbildung des Profils von individuellen Präferenzrelationen auf eine einzelne kollektive Präferenzrelation nennt man eine „soziale Wohlfahrtsfunktion“ oder, im Zusammenhang der Entscheidungstheorie, auch ein „Kollektiventscheidungsverfahren“. Mathematisch betrachtet haben wir es dabei mit folgenden Gegenständen zu tun:
Eine Kollektiventscheidungsverfahren (auch „soziale“ bzw. „gesellschaftliche Wohlfahrtsfunktion“ oder einfach „Sozialwahlfunktion“) ist nun eine Funktion \(f: {\cal P} \mapsto{\cal R}\), die jedem Präferenzprofil \(P \in{\cal P}\) eine „kollektive“ Präferenzrelation \(R_K \in{\cal R}\) zuordnet. Man kann auch schreiben: \(f(P_1‚…, P_n) = R_K\), wobei \((P_1‚…, P_n)\) ein bestimmtes Präferenzprofil ist, und \(R_K\) diejenige Präferenzrelation, die diesem Profil durch die Sozialwahlfunktion \(f\) zugeorndet wird.
Mit Hilfe dieses technischen Apparats kann die Frage untersucht werden, welche Entscheidungs- bzw. Abstimmungsprozeduren zum Treffen von Kollektiventscheidungen geeignet sind. Z.B. kann man damit die Frage untersuchen, ob die Entscheidung nach dem demokratischen Mehrheitsprinzip zu effizienten, gerechten und konsequenten Kollektiventscheidungen führt. Dazu müssen die entsprechenden Anforderungen an eine Sozialwahlfunktion (Effizienz, Gerechtigkeit etc.) natürlich zunächst mathematisch umschrieben werden. In diesem Zusammenhang ist es wichtig darauf hinzuweisen, dass die Sozialwahltheorie keineswegs die einzige Theorie ist, die sich mit diesen Fragen beschäftigt. Vielmehr werden die entsprechenden Fragen in der politischen Philosophie schon seit der Antike thematisiert, und schon längst bevor es die Sozialwahltheorie als eigenes Fachgebiet gab, sind auf viele der von ihr untersuchten Probleme praxistaugliche Lösungen gefunden worden. Was die Sozialwahltheorie von früheren Ansätzen unterscheidet ist der formale mathematische Rahmen, in dem sie diese Probleme untersucht. Leider erweist sich dieser formale Rahmen nicht immer als ein Vorteil, indem viele wichtige Probleme und Fragestellungen, die im Zusammenhang mit kollektiven Entscheidungsprozessen stehen, sich innerhalb dieses Rahmens entweder überhaupt nicht oder nicht adäquat artikulieren lassen. Die Sozialwahltheorie gibt nur einen ganz bestimmten Blickwinkel auf solche Phänomene wie das der demokratischen Mehrheitsentscheidung frei. Was z.B. weitgehend ausgespart bleibt, sind sogenannte „deliberative“ Prozesse, also diejenigen Vorgänge, in denen sich – in der ökonomistischen Sprache formuliert – die Präferenzen der Individuen in Folge von öffentlichen Diskussionen veränderen, aneinander anpassen oder sich dissozieren und in Lager aufteilen. Und in einer nicht ökonomistischen Sprache formuliert, sind deliberative Prozesse all diejenigen Diskussions- und Meinungsbildungsprozesse, die, besonders in Demokratien, politischen Entscheidungen oder Abstimmungen voraus zu gehen pflegen. Will man ein richtiges und vollständiges Bild von der Natur demokratischer politischer Entscheidungsprozesse gewinnen, so ist die Sozialwahltheorie allein dafür völlig unzureichend und sollte unbedingt durch andere Theorien, z.B. solche, die deliberative Prozesse zum Gegenstand haben, ergänzt werden. Zur klassischen politischen Philosophie steht die Sozialwahltheorie also bestenfalls im Verhältnis einer Ergänzung. Keineswegs handelt es sich dabei um eine „streng wissentschaftliche“ Alternative, die die traditionelle politische Philosophie ablösen oder ersetzen könnte.
Der grundlegende Widerspruch, auf dem in der ein- oder anderen Form viele der Unmöglichkeitsbeweise der Sozialwahltheorie aufbauen, lässt sich beispielhaft am sogenannten Condorcet-Paradox erläutern. Angenommen, wir haben drei Individuen \(A\)‚\(B\), \(C\), die über drei Alternativen \(x\)‚\(y\)‚\(z\) abstimmen wollen. Alle Individuen sind dabei gleichberechtigt. Ihre Präferenzen sind folgendermaßen verteilt:
Welche Alternative sollte gewählt werden? Jede Alternative steht einmal an erster, einmal an zweiter und einmal an dritter Stelle. Man kann also keine Alternative ohne Weiteres als die kollektiv beste auszeichnen, wenn man nicht eines der Individuen in ungerechter Weise bevorzugen will. Das Problem lässt sich auch nicht einfach verfahrenstechnisch lösen. Denn wollte man zum Beispiel Stichwahlen durchführen, so würde im ersten Wahlgang jede Alternative die gleiche Stimmenzahl erhalten, so dass man keine Alternative für den zweiten Wahlgang ausschließen könnte. Wollte man paarweise Stichwahlen durchführen, so ergibt sich jeweils, dass \(x \succ _K y\), \(y \succ _K z\), aber ebenso auch \(z \succ _K x\). Bei jedem dieser Paare wird ja das vordere Glied von jeweils zwei Individuen bevorzugt. Man nennt den Mechanismus von paarweisen Stichwahlen zur Bestimmung der bevorzugten Alternative aus einer Menge von Alternativen über die mehrere Individuen (möglicherweise) unterschiedliche Präferenzen haben auch Condorcet-Kriterium (nach dem Marquis des Condorcet, einem französischen Philosphen und Mathematiker des 18. Jahrhunderts, der dieses Kriterium vorgeschlagen hat). Das Condorcet-Kriterium zur Bestimmung der kollektiven Präferenzen würde also zu zyklischen Präferenzen führen, weil \(x \succ _K y \succ _K z \succ _K x\) gilt. Damit wäre aber die Transitivität der kollektiven Präferenzrelation verletzt. Nun haben wir zwar gesehen, dass intransitive Präferenzen keineswegs „unnatürlich“ sein müssen (siehe Seite ). Das vorliegende Beispiel zeigt ja gerade, dass sie auf eine ganz natürliche und naheliegende Weise (paarweise Stichwahlen) zustande kommen können. Aber intransitive Präferenzen werfen trotzdem sowohl theoretische („Geldpumpenargument“, siehe Seite ) als auch praktische Probleme auf. Denn welche Alternative soll man im Fall zyklischer kollektiver Präferenzen wählen, wenn man vermeiden will, irgendjemanden zu bevorzugen. Eine der naheliegendsten Lösungen um mit „Pattsituationen“ dieser Art umzugehen, besteht darin das Los entscheiden zu lassen, denn beim Losverfahren bleibt die demokratische Gleichheit dadurch gewahrt, dass jeder die gleichen Chancen hat. Es ist daher auch nicht verwunderlich, dass wir dieses Mittel seit der Antike in zahlreichen Satzungen und Verfassungen für u.a. diejenigen Fälle vorgesehen finden, in denen eine Abstimmung nicht zu einem eindeutigen Ergebnis führt []delong:1991. (Ein anderer wichtiger Grund für den Einsatz des Losverfahren ist, dass es sich nicht wie Abstimmungen durch Stimmenkauf oder Erpessung manipulieren lässt. Bei historischen Beispielen der Verlosung von Ämtern (z.B. im antiken Athen oder in den italienischen Republiken in der Zeit der Renaissance) kommt hinzu‚
Die mögliche Entstehung zyklischer kollektiver Präferenzen ist nur eins von mehreren Problemen, an denen Abstimmungsverfahren leiden können. Ein weiteres mögliches Problem bestimmter Abstimmungsverfahren, das bei „ungünstig“ verteilten individuellen Präferenzen auftreten kann, ist das der Pfadabhängigkeit. Angenommen, wir hätten uns entschlossen, statt, wie eben, über alle Paare abzustimmen, zunächst zwischen einem beliebig herausgegriffenen Paar von Alternativen abszustimmen und dann zwischen dem Gewinner dieser Abstimmung und der verbleibenden Alternative. (Sollte es mehr als drei Alternativen geben, kann man das Verfahren einfach noch einmal durchführen, solange bis am Ende eine Alternative gewonnen hat.) Die Teilnehmer \(A‚B\) und \(c\) aus der Tabelle auf Seite würden also z.B. zuerst über \(x\) und \(y\) abstimmen, wobei \(x\) mit 2 Stimmen zu einer Stimme gewinnt. Dann stimmen sie über die verbleibende Alternative \(x\) oder \(z\) ab. Diesmal gewinnt \(z\) mit 2:1 Stimmen. Das Problem besteht nun darin, dass eine ganz andere Alternative gewonnen hätte, wenn nicht mit der Abstimmung über \(x\) und \(y\) begonnen worden wäre, sondern z.B. mit der Abstimmung über \(x\) und \(z\) begonnen, dann hätte sich zunächst \(z\) gegen \(x\) behauptet, aber bei der anschließenden Stichwahl zwischen \(z\) und \(y\) hätte \(y\) gewonnen. Das Abstimmungsergebnis hängt also (bei entsprechend ungünstig verteilten Präferen) in kontingenter Weise von der Reihenfolge der Abstimmung (bzw. dem gefählten „Pfad“) ab. Man könnte auch sagen, der Sieg von \(z\) im ersten Fall bzw. von \(y\) im zweiten Fall ist bloß ein „Artefakt des Abstimmungsmechanismus“. (Eine präzise Definition des Begriffs des „Artefakts eines Abstimmungsmechanismus“ könnte lauten: Eine Artefakt eines Abstimmungmechanismus ist ein Abstimmungsergebnis, das nur durch die Verletzung unserer Erwartungen an einen fairen und vernünftigen Abstimmungsmechanismus zustande gekommen ist. In dem Beispiel eben wäre dan die Erwartung verletzt, dass ein Abstimmungsmechanismus pfadunabhängig sein sollte.) Unter Umständen könnte dieses Problem sogar Manipulationsmöglichkeiten für einen geschickten Wahlleiter eröffnen, der die Reihenfolge der Stichwahlen festlegen darf (siehe Übungsaufgabe auf Seite ).
Dasselbe Beispiel verdeutlicht zugleich ein weiteres Problem – wenn man es für ein Problem hält –, nämlich das des strategischen Wählens. Nehmen wir an, die Reihenfolge der Abstimmungen sei bereits dahingehend festgelegt, dass zunächst zwischen \(x\) und \(y\) und dann zwischen der Siegeralternative und \(z\) abgestimmt wird. Angenommen nun, Individuum \(B\) würde in der ersten Runde nicht für \(x\), sondern „strategisch“, d.h. entgegen den eigenen Präferenzen, für \(y\) stimmen, dann würde sich \(y\) in der zweiten Runde durchsetzen und \(B\) hätte vermieden, dass die aus \(B\)s Sicht schlechteste Alternative \(C\) gewinnt. „Strategisches Wählen“ kann man insofern als ein Problem ansehen, als die Transparenz eines Abstimmungsvorgangs darunter leidet, erst recht dann, wenn sich alle Beteiligten solcher Ticks bedienen. Nun wäre es sehr naheliegend, um solche Probleme zu vermeiden, die Forderung zu erheben, nur solche Abstimmungsverfahren zu verwenden, bei denen keine „Artefakte“ auftreten können. Leider gibt es, wie u.a. der weiter unten (Kapitel ) zu besprechende Satz von Arrow zeigt, kein Verfahren, das in dieser Hinsicht alle Wünsche erfüllen könnte. Irgendwelche (möglichen) Artefakte muss man bei jedem Abstimmungsmechanismus in Kauf nehmen. Und welches Abstimmungsverfahren man unter dieser Bedingung für das „bestmögliche“ hält, hängt wiederum davon ab, welche Einschränkungen man bereit ist in Kauf zu nehmen. Darüber und auch über die Frage, wie gravierend diese Schwierigkeiten insgesamt sind, werden wir uns ausführlich im nächsten Kapitel (Kapitel ) unterhalten.
Zum Schluss sein noch darauf hingewiesen, dass es sich bei den hier beschriebenen Phänomenen nicht ausschließlich um ein Problem von Abstimmungen und Kollektiventscheidungen (auch wenn es dabei vielleicht häufiger auftritt), denn nach dem gleichen Muster kann man – wie zuvor (S. ) schon einmal angedeutet – auch zyklische individuelle Präferenzen konstruieren. Insofern ist es ein Problem, dass den Kern der Theorie betrifft. Dazu ein Beispiel: Eine Person steht vor der Wahl mit welchem ihrer drei Kollegen und Kolleginnen Peter, Lisa und Klaus sie gemeinsam an einem Projekt arbeiten möchte. Die drei Kollegen und Kolleginnen unterscheiden sich dabei hinsichtlich der drei Eigenschaften nett, fleißig und pünktlich. In der folgenden Tabelle ist die Rangfolge der Kollegen und Kolleginnen für jede dieser Eigenschaften angegeben:
| nett | fleißig | pünktlich | |
| 1. | Peter | Lisa | Klaus |
| 2. | Lisa | Klaus | Peter |
| 3. | Klaus | Peter | Lisa |
Geht man danach, welcher Kollege bei mehr guten Eigenschaften besser ist als ein anderer (paarweiser Vergleich nach dem Condorcet-Verfahren), so ergibt sich auf ganz natürliche Weise die „zyklische“ Präferenzstruktur: \(Peter \succ Lisa \succ Klaus \succ Peter\).
Das Muster der Verteilung individueller Präferenzen, das sich in beiden Tabellen wiederfindet, tritt in der Sozialwahltheorie ebenso wie in der Wahl- und Abstimmungstheorie sehr häufig auf. Viele „paradoxe“ Ergebnisse in diesen Theorien beruhen in der ein- oder anderen Weise auf diesem Muster, so auch das weiter unten folgende „Paradox des Liberalismus“.
Nach diesem Einstieg gehen wir nun zunächst zu einem der einfacheren Beispiele der Sozialwahltheorie über, dem sogennanten „Paradox des Lieberalismus“ von Amartya Sen []kliemt-lahno:2005. Die Bezeichnung erscheint – zumindest im Deutschen – ein wenig unglücklich, denn es handelt sich dabei eher um ein Paradox der Demokratie als des Liberalismus im engeren Sinne. Hinter dem Namen verbirgt sich jedenfalls Folgendes: Um faire Kollektiventscheidungen über eine Menge von Alternativen zu treffen, soll eine „Verfassung“ verabschiedet werden, die ein entsprechendes Entscheidungsverfahren vorgibt, das folgenden Bedingungen genügt:
Allen drei Bedingungen kommt ein gewisser Grad von Selbstverständlichkeit zu, d.h. man ist leicht geneigt zu verlangen, dass jede einigermaßen faire und sinnvolle Entscheidungsprozedur mindestens diese drei Bedingungen erfüllt. Es lässt sich nun jedoch zeigen, dass es unmöglich ist, alle drei Bedingungen auf einmal zu erfüllen. Um das zu zeigen, gehen wir von dem einfachsten Fall aus, in dem wir es mit zwei Individuen und drei Alternativen zu tun haben. Die Individuen bezeichnen wir mit \(A\) und \(B\), die Alternativen mit \(x‚y‚z\). Nun soll in der „Verfassung“ festgeschrieben werden, wer über welches Paar von Alternativen entscheiden darf. Wir nehmen an, dass das Individuum \(A\) über \(y\) und \(z\) und Individuum \(B\) über \(x\) und \(z\) entscheiden darf, d.h. wenn \(P\) die Menge der Alternativen bezeichnet, über die ein Individuum die „Prärogative“ ausübt, dann gilt:
\[P_A = \{x‚z\}\]\[P_B = \{y‚z\}\]Die Unmöglichkeit eines Entscheidungsverfahrens, das alle drei Bedingungen erfüllt, ist dann bewiesen, wenn wir Präferenzen für \(A\) und \(B\) finden, mit denen keine eindeutige Kollektiventscheidung mehr getroffen werden kann. Dies ist aber für folgende Präferenzen der Fall:
\[A:\qquad y \succ x \succ z \]\[B:\qquad z \succ y \succ x \]Mit diesen Präferenzen kann keine der drei Alternativen als die beste gewählt werden, denn:
Damit ist gezeigt, dass es unmöglich ist, ein Entscheidungsverfahren zu finden, dass die Präferenzen von \(A\) und \(B\) unter Berücksichtigung der Fairness-, Unbeschränktheits- und Einstimmigkeitsbedingung auf kollektive Präferenzen abbilden kann, da keine der möglichen Alternativen in der kollektiven Präferenzordnung an erster Stelle auftauchen dürfte.
Die Gültigkeit des Beweises hängt nicht davon ab, welche Prärogativen man wählt (Übungsaufgabe ). Es ist aber sehr wohl entscheidend für den Beweis, dass die Prärogativen im vorhinein festgelegt werden, d.h. bevor etwas über die Präferenzen der Individuen bekannt ist (Übungsaufgabe ).
An dieser Stelle sei ein kleiner Einschub gestattet zu der Frage: Wie kommt man auf diese Lösung? Die Beweisführung gelingt nämlich nur, wenn man zuvor die Präferenzen der Individuen geschickt festlegt. Wie findet man aber heraus, welches die Präferenzen sind, mit denen sich der Beweis nachher richtig führen lässt? Nun, in diesem Fall sollte man versuchen, die Präferenzen ausgehend von den drei Bedingungen zu wählen (wobei die Bedingung des unbestimmten Bereiches schon dadurch abgegolten ist, dass wir die Präferenzen frei wählen dürfen, und hier also nicht noch einmal in Betracht kommt). Dabei ist es hilfreich, wenn man mit der Einstimmigkeitsbedingung anfängt. Damit man aufgrund der Einstimmigkeitsbedingung eine Alternative ausschließen kann, müssen die Präferenzen beider Individuen auf jeden Fall bei einem Paar von Alternativen (hier \(x\) und \(y\)) gleichgeordnet sein. So scheidet aufgrund der Einstimmigkeitsbedingung schon einmal eine Alternative aus. Die verbleibende Alternative (\(z\)) muss nun so in die Präferenzen eingeordnet werden, dass mit Hilfe der Prärogative des einen Individuums, die bevorzugte der beiden anderen Alternativen (\(y\)) ausfällt, und dass zugleich die verbleibende Alternative (\(z\)) ausgeschlossen wird.
Kann man aus diesem Beweis inhaltliche Schlussfolgerungen bezüglich der Demokratie bzw. der Möglichkeit und Fairness demokratischer Entscheidungsverfahren ziehen? Mit einiger Vorsicht kann wohl folgende Schlussfolgerung gezogen werden: Eine Idealvorstellung dergestalt, dass in der Demokratie den Interessen jedes Bürgers (ausgedrückt durch die Präferenzen) wenigstens eine gewisse Berücksichtigung (ausgedrückt durch die Prärogative) garantiert (unbeschränkter Bereich) werden könnte, lässt sich nicht unter allen Umständen (Effizienz- bzw. Einstimmigkeitsgebot) halten.
Wie man sieht – aber das ist ein Grundproblem des Ansatzes – sind inhaltlich nur relative schwache, d.h. nahe an der Grenze zur reinen Binsenweisheit liegende Schlussfolgerungen möglich. Denn, dass in der Demokratie nicht alle Interessen berücksichtigt werden (können), ist schon aus anderen, pragmatischen Gründen relativ offensichtlich. Zugleich ist aber jedem die Möglichkeit und damit auch die Chance gegeben, für die eigenen Interessen zu kämpfen. Dass diese Chancen höchst ungleich verteilt sind, stimmt leider ebenso, hängt aber weniger mit logisch-mathematischen Abbildungsproblemen als mit der innergesellschaftlichen Reichtums-, Macht- und Einkommensverteilung etc. zusammen.
Aber auch wenn keine unmittelbaren starken demokratietheoretischen Schlussfolgerungen aus dem „Paradox des Liberalismus“ gezogen werden können, ist ein Verständnis der logischen Eigenschaften von Abstimmungs- bzw. Kollektiventscheidungsverfahren – neben den nicht minder wichtigen psychologischen Rahmenbedingungen – wichtig, wenn es um die Frage geht, welche Abstimmungsverfahren man für welchen Zweck heranziehen bzw. wie man sie gestalten sollte.
Ein historischer Vorläufer des sogennanten „Paradox des Liberalismus“ und recht eigentlich der Klassiker der Sozialwahltheorie ist allerdings der „Satz von Arrow“. Der Beweis des „Satzes von Arrow“ ist einiges komplizierter als das „Paradox“ des Liberalismus, sollte aber, da er im Grunde nur relativ elementare mathematische Mittel voraussetzt, dennoch verständlich sein. Um es so einfach wie möglich zu machen, wird der Beweis in drei Teilbeweise zerlegt, die wir Schritt für Schritt durchgehen werden.
Interessierte können sich gerne auch den zweiten und dritten Beweis in diesem Skript durchlesen. Besonders der dritte Beweis sollte, da er recht ähnlich ist, nicht mehr allzu schwer verständlich sein, wenn man den ersten Beweis erst einmal begriffen hat!
Der Satz von Arrow zeigt – ähnlich wie Sens sog. „Paradox des Liberalismus“ – dass eine Abbildung individueller Präferenzen auf eine kollektive Präferenzordnung nicht mehr möglich ist, wenn man nur ein par „selbstverständliche“ Anforderungen an diese Abbildung stellt. Wenn wir dieses zunächst einmal mathematisch abstrakte Resultat auf demokratische Entscheidungsfindungsprozesse übertragen, dann besagt es, dass bestimmte normative Kriterien wie etwa 1) dass jeder eine faire Chance bekommen soll, 2) dass die Entscheidungsfindung effizient sein soll, 3) dass die Entscheidungsprozedur auch bei höchst unterschiedlichen Meinungen noch funktioniert, miteinander unvereinbar sein können. Da man dies den entsprechenden normativen Kriterien nicht unmittelbar ansieht, hat das Resultat schon einige Bedeutung, indem es uns auf einen möglichen Zielkonflikt aufmerksam macht. Wie bei beinahe allen Resultaten der Sozialwahltheorie muss man allerdings auch hier die Frage stellen, inwieweit die abstrakt-mathematische Formulierung die entsprechenden konkret-empirischen Zusammenhänge richtig erfasst.
Zum Anforderungskatalog, auf den sich der Satz von Arrow bezieht, gehören nun folgende Bedingungen:
Anders als bei der Paretobedingung legt die Bedingung der Unabhängigkeit von dritten Alternativen nicht fest, welche kollektive Wahl getroffen werden soll, wenn unterschiedliche Individuuen bezüglich bestimmter Alternativen übereinstimmen, sondern vielmehr, welche Wahl getroffen werden soll, wenn unterschiedliche Präferenzprofile bezüglich der Anordnung bestimmter Alternativen übereinstimmen. Dabei können die Individuuen innerhalb der Präferenzordnungen diese Alternativen sehr wohl unterschiedlich anordnen (siehe dazu die Aufgaben und ).
Theorem (Satz von Arrow):Es gibt (bei zwei oder mehr Individuen und drei oder mehr zur Wahl stehenden Alternativen) kein Kollektiventscheidungsverfahren, das individuelle Präferenzordnungen so auf eine kollektive Präferenzordnung abbildet, dass die Bedingungen der Diktaturfreiheit, der Einstimmigkeit und der Unabhängigkeit von dritten Alternativen für alle denkbaren indvididuellen Präferenzordnungen erfüllt sind.
Um den Beweis des Theorems vorzubereiten, führen wir zunächst zwei weitere Definitionen ein:
Der wahrscheinlich einfachste Beweis, der sich für den Satz von Arrow finden lässt, folgt weitgehend Dennis Mueller [S. 583f.]mueller:2003, der sich für seine Skizze wiederum auf William Vickrey stützt. Der Satz von Arrow wird dabei über drei Zwischenschritte (Lemmata) bewiesen:
Sei \(D\) eine Teilmenge von Individuen, die beinahe entscheidend für \(x\) über \(y\) ist, dann ist \(D\) beinahe entscheidend für alle Alternativen.
Damit ist der erste Teil des Beweises von Lemma 1 abgeschlossen. Was bis hierher bewiesen wurde ist: Wenn eine Menge \(D\) für \(x \succ _K y\) entscheidend ist, dann dürfen wir in dieser Formel den rechten Term (also das \(y\)) durch jede beliebige dritte Alternative (\(u\)) ersetzen, und die Aussage stimmt immer noch. Nun wird noch gezeigt, dass das für den linken Term (also das \(x\)) ganz genauso gilt.
2. Teil (Ersetzbarkeit von links)
Damit ist gezeigt, dass wir auch den linken Term (das \(x\)) in der Aussage, dass \(D\) eine entscheidende Menge für \(x \succ _K y\) ist, durch eine beliebige dritte Alternative (\(u’\)) ersetzen dürfen, ohne dass die Aussage falsch wird. Zusammen mit dem Resultat vom ersten Teil des Beweises bedeutet das, dass wir in der Formel \(x\) und \(y\) beliebig durch andere Alternativen ersetzen dürfen (siehe Übungsaufgabe ).
Schluss
Sei \(D\) beinahe entscheidend für alle Alternativen, dann enthält \(D\) ein Individuum, das bereits allein beinahe entscheidend für alle Alternativen ist.
Ende der Fallunterscheidung
Ist ein Individuum beinahe entscheidend für alle Alternativen, dann ist dasselbe Individuum auch vollständig entscheidend für alle Alternativen.
Aus der Voraussetzung, dass es immer eine Teilmenge \(D\) und ein Paar von Alternativen \(x\) und \(y\) gibt, für die \(D\) beinahe entscheidend ist (siehe Anmerkung auf Seite ) ergibt sich in Verbindung mit Lemma 1, 2 und 3, dass es ein Individuum \(J\) gibt, dass vollständig entscheidend für alle Alternativen ist. Da dies dem Prinzip der Diktaturfreiheit widerspricht, ist es nicht möglich die Voraussetzungen des unbeschränkten Bereichs, der Einstimmigkeit, der Unabhängigkeit von dritten Alternativen und der Diktaturfreiheit gleichzeitig zu erfüllen. Damit ist der Satz von Arrow bewiesen.
Dasselbe Theorem kann auch auf andere Weise bewiesen werden. Zum tieferen Verständnis und weil dieser zweite Beweis etwas andere Beweistechniken einsetzt, sei er hier auch aufgeführt. Der Beweis stammt von John Geanakoplos []geanakoplos:1996 und läuft folgendermaßen:
Damit ist bewiesen, dass es unter den Bedingungen der Unabhängigkeit von dritten Alternativen, des unbeschränkten Bereichs und der Einstimmigkeit (Pareto-Effizienz) bei drei oder mehr Alternativen immer einen Diktator gibt. Die Bedingung der Diktatorfreiheit ist also nicht mehr erfüllbar, wenn die drei anderen Bedingungen erfüllt sind.
Der folgende Beweis stammt aus dem Buch von Resnik [S. 186ff.]resnik:1987. Der Beweis ähnelt sehr stark dem ersten hier vorgestellten Beweis. Nur wird diesmal nicht zuerst gezeigt, dass es eine Teilmenge von Individuen gibt, die beinahe entscheidend für alle Alternativen ist und dann, dass sie tatsächlich nur aus einem Individuum besteht. Sondern es wird zuerst gezeigt, dass es ein Individuum gibt, dass für eine Alternative beinahe entscheidend ist, und dann, dass daraus folgt, dass dieses Individuum für alle Alternativen nicht nur beinahe sondern vollständig entscheidend ist. Die einzelnen Beweisschritte sind aber zum Teil ähnlich wie beim ersten Beweis, so dass die Lektüre des zweiten Beweises gut zur Übung und zum besseren Verständnis dienen kann.
Zunächst wird folgendes Lemma bewiesen:
Lemma 1: Es existiert immer ein Individuum, das für irgendein Paar von Alternativen beinahe entscheidend ist.
Beweis: Wie oben angemerkt existieren „entscheidende“ Mengen für jedes Paar von Alternativen. Da jede „entscheidende“ Menge immer auch „beinahe entscheidend“ ist, existieren für jedes Paar von Alternativen auch beinahe „entscheidende“ Mengen.
Wir setzten voraus, dass die Menge der Individuen und Alternativen endlich ist. Dann existiert wenigstens eine „beinahe entscheidende“ Menge, die keine echte Teilmenge enthält, die „beinahe entscheidende“ Menge wäre, denn: Man beginne mit irgend einer beliegigen „beinahe entscheidenden“ Menge. Hat diese Menge noch (nicht-leere) Teilmengen, die „beinahe entscheidende“ Mengen sind, dann wähle man irgend eine dieser „beinahe entscheidenden“ Teilmengen und stelle für diese Teilmenge dieselbe Untersuchung an, solange bis man bei einer Menge angekommen ist, die keine echten Teilmengen mehr enthält, die ihrerseits „beinahe entscheidende“ Mengen irgendeines Paares von Alternativen sind.
Wir verfügen damit über eine „minimale Menge“, die „beinahe entscheidend“ bezüglich eines bestimmten Paares von Alternativen ist. Wenn wir zeigen können, dass diese „minimale Menge“ nur noch ein einziges Individuum enthält, dann haben wir das Lemma bewiesen. Dazu kann ein Widerspruchsbeweis geführt werden. Wir nehmen also an, es gäbe eine entsprechende „minimale beinahe entscheidende Menge“, die mehrere Individuen enthält und zeigen, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt.
Angenommen also, \(M\) sei eine „minimale beinahe entscheidende Menge“ für die Alternative \(x\) über \(y\), die mehrere Individuen enthält. Man betrachte ein beliebiges Individuum \(J\) aus der Menge \(M\). Da die Menge \(M\) mehr Individuen als nur \(J\) enthält, und da möglicherweise noch ein „Rest“ von Individuen existiert, die nicht zu \(M\) gehören, kann man folgende drei unterschiedlichen Gruppierungen betrachten: 1) Die Menge, die nur aus dem Individuum \(J\) besteht. 2) Die Menge, die aus den Individuen von \(M\) ohne \(J\) besteht, kurz: \(M-J\). 3) Der „Rest“, d.h. alle Individuen, die nicht zu \(M\) gehören.
Da jedes beliebige Präferenzprofil zugelassen ist („unbeschränkter Bereich“) und sich die Eigenschaft eine (minimale) „beinahe entscheidende“ Menge zu sein auf alle Präferenzprofile bezieht, muss sie sich auch bei jedem beliebigen einzelnen Präferenzprofil bewähren. Man nehme an, dass es mindestens drei Güter gibt und betrachte nun folgendes Präferenzprofil:
| \(J\) | \(M-J\) | Rest |
| \(z\) | \(x\) | \(y\) |
| \(x\) | \(y\) | \(z\) |
| \(y\) | \(z\) | \(x\) |
Quelle: [S. 188]resnik:1987
Da \(M\) eine „beinahe entscheidende“ Menge für \(x\) über \(y\) ist und in diesem Präferenzprofil für alle Mitglieder von \(M\) gilt: \(x \succ y\), und alle Nicht-Mitglieder gilt: \(y \succ x\), so muss die Wohlfahrtsfunktion diesem Präferenzprofil kollektive Präferenzen zuordnen, bei denen \(x \succ y\) gilt. Darüber hinaus muss die Wohlfahrtsfunktion natürlich auch festlegen, welche Beziehung (\(\succ \), \(\prec \) oder \(\sim \)) zwischen \(x\) und \(z\) zu gelten hat. Wir betrachten die drei Möglichkeiten im Einzelnen, und zeigen, dass jede davon zu einem Widerspruch führt. Dabei ist zu beachten, dass wir nicht ausgeschlossen haben, dass die Menge „Rest“ leer sein kann. Die folgenden Argumente funktionieren aber (wovon man sich leicht überzeugen kann) auch in dem Fall, dass die „Rest“-Gruppe leer ist.
Da alle Möglichkeiten zum Widerspruch führen, kann die Wohlfahrtsfunktion die individuellen Präferenzen nicht auf kollektive Präferenzen abbilden, sofern die minimale „beinahe entscheidende“ Menge \(M\) noch mehr als ein Individuum enthält.
Das erste Lemma scheint alleine noch nicht viel zu besagen, denn von dem Individuum, aus dem die Menge \(M\) am Ende besteht, ist zunächst nur bewiesen, dass es lediglich beinahe entscheidend ist, und auch das nur für ein Paar von Alternativen. Ein zweites Lemma zeigt aber, dass weit mehr dahinter steckt:
Lemma 2: Ein Individuum, das für irgendein Paar von Alternativen beinahe entscheidend ist, ist entscheidend für jedes Paar von Alternativen.
Beweis: Wir nehmen an, dass das Individuum \(J\) beinahe entscheidend für \(x\) über \(y\) ist. Es muss nun gezeigt werden, dass es dann auch entscheidend (und zwar nicht bloß beinahe entscheidend!) für alle Paare von Alternativen ist. Dies ist dann bewiesen, wenn wir zwei weitere Alternativen \(a\) und \(b\) in die Betrachtung einbeziehen und beweisen können, dass \(J\) in folgenden sieben Fällen entscheidend ist: 1) \(x\) über \(y\); 2) \(y\) über \(x\); 3) \(x\) über \(a\); 4) \(a\) über \(x\); 5) \(y\) über \(a\); 6) \(a\) über \(y\); 7) \(a\) über \(b\).
Da \(a\) und \(b\) beliebig wählbar sind, schließt der Beweis automatisch („ohne Beschränkung der Allgemeinheit“) alle weiteren Alternativen mit ein, die es außer \(x‚y‚a\) und \(b\) noch geben könnte. Gibt es außer \(x\) und \(y\) nur noch eine oder gar keine weiteren Alternativen, dann fallen nur einige der betrachteten Fälle weg, und der Beweis gilt trotzdem. Aus Gründen der Konvenienz werden in dem folgenden Beweis die Fälle in einer anderen Reihenfolge behandelt (vgl. [S.190/191]resnik:1987). Nun zu den Fällen im Einzelnen:
In jedem der Fälle ist \(J\) also „entscheidend“, womit das zweite Lemma bewiesen ist. Aus dem ersten und dem zweiten Lemma ergibt sich zusammengenommen der Satz von Arrow, der damit ebenfalls bewiesen ist.
Nachdem der „Satz von Arrow“ mathematisch bewiesen ist, stellt sich nun erst die eigentliche Frage, wie er inhaltlich beurteilt werden muss. Der Satz von Arrow scheint zu zeigen, dass es nicht möglich ist, aus individuellen Präferenzen kollektive Entscheidungen abzuleiten, die gleichermaßen effizient, vernünftig und (hinsichtlich der Berücksichtigung der unterschiedlichen individuellen Präferenzen) gerecht sind. Aber wie weit reicht diese Erkenntnis? Dass es bei der kollektiven Entscheidungsfindung Zielkonflikte zwischen Gerechtigkeitsansprüchen und Effizienzforderungen (hier repräsentiert durch die Einstimmigkeitsbedingung) geben kann, wissen wir schon aus der politischen Lebenserfahrung. Dass sie – wie der Satz von Arrow nahelegt – unvermeidlich sind, ist eine wichtige Einsicht. Dennoch stellt sich die Frage wie relevant derartige logische Beweisführungen in der Praxis sein können. Immerhin mag in der politischen Praxis die Vereinbarung von Gerechtigkeits- und Effizienzansprüchen noch an vielen weiteren Hindernissen scheitern als bloß dem im Satz von Arrow erfassten logischen Abbildungsproblem. Und die Zielsetzung, Gerechtigkeits- und Effizienzansprüche möglichst weitgehend miteinander zu vereinbaren, wird durch den Satz von Arrow keineswegs sinnlos.
