1. Aufgaben

1. Kann man auf Grund des Dominanz­prinzips bei dem folgenden Ent­scheidungs­problem bereits feststellen, welche Handlungsalternative gewählt werden sollte oder zumindest sagen, ob eine bestimmte Handlungsalternative definitiv nicht gewählt werden sollte?



Erkläutern Sie Ihre Antwort sowohl anhand der Baum- als auch anhand der Tabellendarstellung (Seite ). Welche Darstellungsform eignet sich dafür besser?

2. Welche Handlungen sollten bei den beiden folgenden Entscheidungs-Tabellen nach der lexikalischen Maximin-Regel gewählt werden:

	Tabelle 1:						Tabelle 2:
\(A_1\)	1	-3	5	6		\(A_1\)	0	1	1	3
\(A_2\)	2	2	3	3		\(A_2\)	0	4	2	3
\(A_3\)	4	6	-10	6		\(A_3\)	3	0	0	1

Quelle: Michael D. Resnik: Choices. An Introduction to Decision Theory, Minnesota 2000, S. 27.

3. Zeige anhand der folgenden Tabelle: Wenn man die lexikalische Maximin-Regel so abändert, dass der kleinste Wert, sofern er in einer Zeile mehrmals vorkommt, nicht nur einmal sondern an allen Stellen gestrichen werden soll, so führt dies dazu, dass durch die lexikalische Maximin-Regel das Prinzip der Dominanz verletzt werden könnte:

	\(S_1\)	\(S_2\)	\(S_3\)
\(A_1\)	-1	2	100
\(A_2\)	-1	-1	3

4. Wie kann man die Maximin-Regel bei Entscheidungsbäumen anwenden?

5. Sei u(x) eine Nutzenskala, die eine Präferenzordnung wiedergibt. Dann gilt: a) \(u(x) > u(y) \Leftrightarrow x \succ y\) und b) \(u(x) = u(y) \Leftrightarrow x \sim y\). Beweise: Beide Bedingungen gelten auch für die transformierte Nutzenskala t(u(x)), sofern t der Bedinung für ordinale Transformationen genügt: \(t(a) > t(b) \Leftrightarrow a > b\) und \(t(a) = t(b) \Leftrightarrow a = b \) für alle a‚b auf der Nutzenskala u.

    
   Schwierigere Aufgabe
   

6. In der Vorlesung wurde die Präferenzrelation genaugenommen durch zwei Relationen, nämlich durch die Relation der strikten Präferenz \(\succ \) und die Relation der Indifferenz \(\sim \) eingeführt. Zeigen Sie, dass man auch mit einer einzigen Relation, der schwachen Präferenz \(\succeq \) auskommen kann. Geben Sie dazu geeignete Axiome für die Relation \(\succeq \) an. Definieren Sie dann die Relationen \(\succ \) und \(\sim \) durch die Relation \(\succeq \), und zeigen Sie anschließend, dass für die so definierten Relationen \(\succ \) und \(\sim \) die für sie in der Vorlesung angegeben Axiome gelten.